数值仿真

姓名：王子陈

学号：20171050008

专业：电子科学与技术

一、一维势阱电势分布

势阱底面电势为1,其余三面电势为0，求势阱内电势分布。

因为阱内无电荷，所以求解拉普拉斯方程：

$$ \nabla^2\phi=0 \\ \frac{\phi(x+\Delta x,y)+\phi(x-\Delta x,y)-2\phi(x,y)}{\Delta x^2}+ \frac{\phi(x,y+\Delta y)+\phi(x,y-\Delta y)-2\phi(x,y)}{\Delta y^2}=0 \\ [\phi(x+\Delta x,y)+\phi(x-\Delta x,y)-2\phi(x,y)]\Delta y^2= [-\phi(x,y+\Delta y)-\phi(x,y-\Delta y)+2\phi(x,y)]\Delta x^2 \\ \phi(x,y)= \frac{[\phi(x+\Delta x,y)+\phi(x-\Delta x,y)]\Delta y^2+[\phi(x,y+\Delta y)+\phi(x,y-\Delta y)]\Delta x^2} {2(\Delta x^2+\Delta y^2)} $$

源代码：

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xlength=1e-3  #x方向长度 1mm （单位 m）
ylength=1e-3  #y方向长度 0.1mm
n = 10       #100行
m = 10       #100列
phiArray=np.zeros((n,m))

phiArray[:,0]=1  #矩阵第一列置1

for i in range(10000):
    #左+右
    phiArray[1:-1,1:-1]=((phiArray[1:-1,2:]+phiArray[1:-1,0:-2])*((xlength/n)**2) \
                     +(phiArray[2:,1:-1]+phiArray[0:-2,1:-1])*((ylength/m)**2)) \
                     /(2*((xlength/n)**2+(ylength/m)**2))
    
zeroArray=np.zeros((n,1))
for i in range(n):
    if( list(phiArray[:,i])==list(zeroArray[:,0])):
        print(i)
        break
print(phiArray[:,m-2])
    
plt.pcolor(phiArray.T)    #pcolor绘制的顺序是反的
plt.colorbar()
plt.xlabel("x",fontsize=24)
plt.ylabel("y",fontsize=24)
plt.savefig('./1x1mm_10x10_1wTimes')
plt.show()

改变 x 方向和 y 方向的长度以及 dx 和 dy (也就是 n 和 m)的值,计算、做图并分析这些参数对最终电势分布的影响。

以下图像都迭代了一万次。

1. 参照组

x长度=1mm, y长度=1mm, n=100格, m=100格

dx=10$\mu$m, dy=10$\mu$m

观察尺度比较小，x,y的观察范围都是1mm，每一格表示长度为10微米。

2. y方向长度增加

x长度=1mm, y长度=1cm, n=100格, m=100格

dx=10$\mu$m, dy=0.1mm。

y方向一格代表0.1毫米，跨度比较大，超过1毫米就看不出色彩变化了，其实还有很微弱的数值：第98行(1cm处)的数值量级在$10^{-25}-10^{-23}$

3. y方向长度减小

x长度=1mm, y长度=0.1mm, n=100格， m=100格

dx=10$\mu$m，dy=100$\mu$m

y方向观测范围为0-0.1mm，在此范围内电势比较大

4. 改变x方向长度变化不大

在x方向上，电势是均匀的，只是拉长了

下图是x长度为1厘米的图像：

5. m(行数)减少

x长度=1mm, y长度=1mm, n=100格, m=10格

dx=10$\mu$m，dy=0.1mm

y方向上1格长度为0.1毫米，看起来没那么细腻，y方向相邻行有明显突变

6. m(行数)增多

x长度=1mm, y长度=1mm, n=100格, m=1000格

dx=10$\mu$m, dy=1$\mu$m

y方向1格长度为1微米，没有颗粒感，更细腻

7. n(列数)减少

x长度=1mm, y长度=1mm, n=10格, m=100格

x方向1格长度100$\mu$m，x方向有明显突变

8. m, n都减少

x长度=1mm, y长度=1mm, n=10格, m=10格

x方向和y方向1格都是距离0.1毫米，颗粒感比较强

二、针尖放电 Point Discharge

盒子底面放一个针尖等势体，三面电势为0。（底边和红色区域电势为固定值）

针尖：两条直线拼起来

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.image as mpimg
#%matplotlib notebook

xLength=1e-3   #x方向长度 1mm （单位 m）
yLength=1e-3 #y方向长度 0.1mm
n = 100        #矩阵100行
m = 100        #矩阵100列
dx = xLength/n #x方向一格长度
dy = yLength/m #y方向一格长度
phiArray=np.zeros((n,m))
volt = 0.1       #电势

height = yLength*0.5    #针尖高度
width = xLength*0.1   #1/2针尖宽度
slop_1 = height/width #直线1斜率
slop_2 = -slop_1
x1 = xLength/2-width  #直线1截距 x1到原点距离
x2 = xLength/2+width  #直线2截距 x2到原点距离
x1Num = x1/dx  #截距x1所在网格序号
x2Num = x2/dx  #截距x2所在网格序号

# 初始化等势体电势
def initialize_point(phiArray, slop_1, slop_2, x1Num, x2Num, volt):
    phiArray[:,0]=volt
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if ((j*dy/dx)<=slop_1*(i-x1Num)) \
            and ((j*dy/dx)<=slop_2*(i-x2Num)): 
                phiArray[i][j]=volt
# 迭代
initialize_point(phiArray, slop_1, slop_2, x1Num, x2Num, volt)
for i in range(100):
    phiArray[1:-1,1:-1]=((phiArray[1:-1,2:]+phiArray[1:-1,:-2])*((xLength/n)**2) \
                     +(phiArray[2:,1:-1]+phiArray[:-2,1:-1])*((yLength/m)**2)) \
                     /(2*((xLength/n)**2+(yLength/m)**2)) #yLength<1时，yLength/m和xLength/n要换下位置
    initialize_point(phiArray, slop_1, slop_2, x1Num, x2Num, volt) #等势体的电势每次迭代不能变
# 计算电场
Ex = -(phiArray[2:,1:-1]-phiArray[:-2,1:-1])/(2*dx)  #电势在x方向梯度的相反数
Ey = -(phiArray[1:-1,2:]-phiArray[1:-1,:-2])/(2*dy)  #电势在y方向梯度的相反数

plt.rcParams['figure.figsize'] = (15.0, 5.0)
plt.subplot(1,2,1)
plt.pcolor(phiArray.T)
plt.colorbar()
plt.xlabel("x", fontsize = 25)
plt.ylabel("y", fontsize = 25)
plt.title("电势分布", fontsize = 25)

plt.subplot(1,2,2)
plt.pcolor((Ex**2+Ey**2)[round(0.2*n):round(0.7*n),:].T)
plt.colorbar()
plt.xlabel("x", fontsize = 25)
plt.ylabel("y", fontsize = 25)
plt.title("电场强度", fontsize = 25)
plt.savefig("./p1x1_100x100_0.5x0.2_v=0.1.png")  #命名的数字单位是mm
print("max E=",np.max((Ex**2+Ey**2)[round(0.2*n):round(0.8*n),:]))

改变 x 方向和 y 方向的长度、dx 和 dy(也就是 n 和 m)的值、针尖的高度和宽度、电势大小等数据,计算、做图并分析这些参数对最终电势分布的影响。

1. 参照组

x长度=1mm, y长度=1mm, n=100, m=100, height=0.5mm, width=0.2mm

容器x方向长1毫米，y方向高1毫米，针高度为容器高度的一半：0.5毫米，针的1/2宽度为容器宽的0.1倍：0.1毫米，所以针宽0.2毫米

x方向一个网格长dx=10$\mu$m, y方向一个网格长dy=10$\mu$m。电势分布及电场强度分布如下，针尖处具有最大场强为：

$max E= 6.139\times 10^{8}$

2. 容器y方向加长到10毫米

x方向长度=1mm， y方向长度=10mm， n=100, m=100， dx=0.01mm， dy=0.1mm， height=5mm， width=0.2mm

因为场强等于电势的微分：

$$ E=(\frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x-\Delta x)}{2\Delta x})^2+(\frac{\phi(y+\Delta y)-\phi(y-\Delta y)}{2\Delta y\ \uparrow})^2\downarrow $$

dy变大，场强变小。虽然分子上的变化率也变大了，但分母(把$\phi$也差分)是三次的增速更快，整体变小。

针高远大于针宽，像一条竖线，可能针尖端y方向的变化太小而忽略，类似于截顶

$max E=1.144\times 10^{8}$

3. 容器y方向缩短到0.1毫米

xLength=1mm， yLength=0.1mm，n=100， m=100， dx=0.01mm， dy=0.001 m， height=0.05mm， width=0.2mm

$$ E=(\frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x-\Delta x)}{2\Delta x})^2+(\frac{\phi(y+\Delta y)-\phi(y-\Delta y)}{2\Delta y\ \downarrow})^2\uparrow $$

dy变小，场强变大。

$max\ E=1.065\times 10^{10}$

4. 容器x方向加长到10毫米

xLength=10mm， yLength=1mm， n=100， m=100， dx=0.1mm， dy=0.01mm， height=0.5mm， width=2mm.

$$ E=(\frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x-\Delta x)}{2\Delta x\ \uparrow})^2\downarrow+(\frac{\phi(y+\Delta y)-\phi(y-\Delta y)}{2\Delta y})^2 $$

dx变大，场强变小。

$max\ E=1.065\times 10^{8}$

5. 容器x方向减小到0.1毫米

xLength=0.1mm， yLength=1mm，n=100， m=100， dx=0.001mm， dy=0.01m， height=0.5mm， width=0.02mm

$$ E=(\frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x-\Delta x)}{2\Delta x\ \downarrow})^2\uparrow+(\frac{\phi(y+\Delta y)-\phi(y-\Delta y)}{2\Delta y})^2 $$

dx变小，场强变大。

$max\ E=1.144\times 10^{10}$

6. 增加针尖相对宽度

xLength=1mm， yLength=1mm， n=100， m=100， dx=0.01mm， dy=0.01mm， height=0.5mm， width=1mm

$$ E=(\frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x-\Delta x)}{2\Delta x}\downarrow)^2+(\frac{\phi(y+\Delta y)-\phi(y-\Delta y)}{2\Delta y}\downarrow)^2 $$

分母没变，看分子：针尖附近x方向,y方向电势变化缓慢，所以针尖尖端场强变小。

针尖的最大场强=$max E= 4.033\times 10^{8}$

7. 减小针尖相对宽度

xLength=1mm， yLength=1mm， n=100， m=100， dx=0.01mm， dy=0.01mm， height=0.5mm， width=0.1mm

容器x方向长度=1毫米，1/2针宽是容器宽度的0.05倍，所以针宽0.1毫米。

针尖高度不变，宽度减小，针尖附近x方向，y方向电势变化加剧，所以针尖尖端强度变大。

$max E=6.331\times 10^{8}$

8. 增加针尖相对高度

xLength=1mm， yLength=1mm， n=100， m=100， dx=0.01mm， dy=0.01mm， height=0.7mm， width=0.1mm

容器y方向高度=1毫米，针尖高度等于容器高度的0.7倍,即0.7毫米。

针尖宽度不变，高度加长，相较于参照组针尖变尖锐了，针尖两侧电势变化加剧，针尖场强变大。

$max E=6.264\times 10^{8}$

9. 减小针尖相对高度

xLength=1mm， yLength=1mm， n=100， m=100， dx=0.01mm， dy=0.01mm， height=0.7mm， width=0.1m

容器y方向高度=1毫米，针尖高度等于容器高度的0.3倍,即0.3毫米，针尖宽度还是0.2毫米。

针尖宽度不变，高度缩短，相较于参照组针尖变钝了，针尖两侧电势变化缓慢，针尖场强变小。

$max E = 5.772\times 10^{8}$

10. 增加n(列)=200

xLength=1mm， yLength=1mm， n=200， m=100， dx=0.005mm， dy=0.01mm， height=0.5mm， width=0.2m

$$ E=(\frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x-\Delta x)}{2\frac{xLength}{n\ \uparrow} \downarrow}\uparrow)^2+(\frac{\phi(y+\Delta y)-\phi(y-\Delta y)}{2\frac{yLength}{m}})^2 $$

n 增大，dx减小，Ex增大，场强变大：$max\ E=1.219\times 10^9$

11. 减小n(列)=10

xLength=1mm， yLength=1mm， n=10， m=100， dx=0.1mm， dy=0.01mm， height=0.5mm， width=0.2m

$$ E=(\frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x-\Delta x)}{2\frac{xLength}{n\ \downarrow} \uparrow}\downarrow)^2+(\frac{\phi(y+\Delta y)-\phi(y-\Delta y)}{2\frac{yLength}{m}})^2 $$

n 减小，dx增大，Ex减小，场强变小：$max\ E=1.410\times 10^8$

12. 增加m(行)=200

xLength=1mm， yLength=1mm， n=100， m=200， dx=0.01mm， dy=0.005mm， height=0.5mm， width=0.2m

$$ E=(\frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x-\Delta x)}{2\frac{xLength}{n} })^2+(\frac{\phi(y+\Delta y)-\phi(y-\Delta y)}{2\frac{yLength}{m\ \uparrow}\downarrow}\uparrow)^2 $$

m 增大，dy减小，Ey增大，场强变大： $max\ E=1.705\times 10^9$

13. 减小m(行)=10

xLength=1mm， yLength=1mm， n=100， m=10， dx=0.01mm， dy=0.1mm， height=0.5mm， width=0.2m

$$ E=(\frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x-\Delta x)}{2\frac{xLength}{n} })^2+(\frac{\phi(y+\Delta y)-\phi(y-\Delta y)}{2\frac{yLength}{m\ \downarrow}\uparrow}\downarrow)^2 $$

m 减小，dy增大，Ey减小，场强变小： $max\ E=1.037\times 10^8$

14. 网格10x10

xLength=1mm， yLength=1mm， n=10， m=10， dx=0.1mm， dy=0.1mm， height=0.5mm， width=0.2m

$$ E=(\frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x-\Delta x)}{2\frac{xLength}{n\ \downarrow}\uparrow}\downarrow)^2+(\frac{\phi(y+\Delta y)-\phi(y-\Delta y)}{2\frac{yLength}{m\ \downarrow}\uparrow}\downarrow)^2 $$

n,m 减小，dx,dy增大，Ex,Ey减小，场强变小： $max\ E=2.479\times 10^7$

15. 网格200x200

x长度=1mm， y长度=1mm， n=200， m=200，dx=0.005， dy=0.005， height=0.5mm， width=0.2mm

$$ E=(\frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x-\Delta x)}{2\frac{xLength}{n\ \uparrow}\downarrow}\uparrow)^2+(\frac{\phi(y+\Delta y)-\phi(y-\Delta y)}{2\frac{yLength}{m\ \uparrow}\downarrow}\uparrow)^2 $$

n，m 增大，dx,dy减小，Ex,Ey增大，场强变大：

电场最强在针尖处，最大值为 $2.456\times 10^{9}$

16. 增大电势

等势体电势为10V，空间电势变大，针尖电势增大：$max\ E=6.139\times 10^{10}$（增大2个数量级）

17. 减小电势

等势体电势为0.1V，空间电势变小，针尖电势减小：$max\ E=6.139\times 10^{6}$（减小2个数量级）

Table of contents

姓名：王子陈

学号：20171050008

专业：电子科学与技术

一、一维势阱电势分布

源代码：

1. 参照组

2. y方向长度增加

3. y方向长度减小

4. 改变x方向长度变化不大

5. m(行数)减少

6. m(行数)增多

7. n(列数)减少

8. m, n都减少

二、针尖放电 Point Discharge

1. 参照组

2. 容器y方向加长到10毫米

3. 容器y方向缩短到0.1毫米

4. 容器x方向加长到10毫米

5. 容器x方向减小到0.1毫米

6. 增加针尖相对宽度

7. 减小针尖相对宽度

8. 增加针尖相对高度

9. 减小针尖相对高度

10. 增加n(列)=200

11. 减小n(列)=10

12. 增加m(行)=200

13. 减小m(行)=10

14. 网格10x10

15. 网格200x200

16. 增大电势

17. 减小电势