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感觉半导体物理与电磁场理论联系很强，特来学习。听丁老师讲课非常爽。
丁：抛弃经典粒子学说（质点，点电荷），不要从粒子基础上搭建。直接从波动性开始认识：单体就是一个复数场。
复数场：空间任一点上是一个复数：$\phi(r,t)=\psi(r)e^{i\theta(r,t)}$ (没抄下来，可能不对)。模平方就是单体在各点上出现的概率密度
薛定谔方程
- $$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r},t)=(-\frac{\hbar^2}{2\mu}\vec{\nabla}^2+V(\vec{r},t))\Psi(\vec{r},t) $$
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左边是波函数$\Psi(\vec{r},t)$随时间的变化率，右边是空间的微分（$\mu$也可写成m, 对应经典学说里粒子的质量，实际上只是方程中的一个参数；V(r)是个势函数）
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知道初始状态，根据变化率，就可以知道以后各时刻情况。
解薛定谔方程
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分离变量法：将时间和空间分开，令
$$ \Psi(\vec{r},t)=\psi(\vec{r})\varphi(t) $$方程变为：
$$ {\displaystyle i\hbar {\frac {1}{\varphi (t)}}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2mu}}{\frac {1}{\psi (\mathbf {r} )}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )} $$左边是时间的函数，右边是位置的函数，令两边都等于常数$E_n$（也可能是常数的组合）：
$$ {\displaystyle i\hbar {\frac {1}{\varphi(t) }}{\frac {d\varphi(t) }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu}}{\frac {1}{\psi(\vec{r}) }}\nabla ^{2}\psi(\vec{r}) +V(\vec{r})=E_n} $$n 表示第n个。En有时可以随便取，有时会受V(r)的限制。
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左边的方程：
$$ \begin{align} \displaystyle i\hbar {\frac {1}{\varphi_n(t) }}{\frac {d\varphi_n(t) }{dt}}&=E_n \\ \frac{d\varphi_n(t)}{dt}&=\frac{E_n}{i\hbar}\varphi_n(t) \end{align} $$函数的一阶导还有自己，这个函数应该是指数函数，所以解的形式为：
$$ \phi_n(r,t)=\sum_n a_n \psi_n(r) exp(\frac{E_n}{i\hbar}t) $$$\psi(r)$由V(r)决定。$\psi(r)$是一组正交完备的函数，它们的线性组合就是唯一解，对应一组唯一的系数an。
对于初始态零时刻，各位置的情况：
$$ \phi(\vec{t},0)=\sum_n a_n \psi_n(\vec{r}) $$求an：点乘$\psi_n(x)$再对v积分（复数的归一性是乘上自己的共轭等于1）
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右边的方程：
$$ -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu}}{\frac {1}{\psi(\vec{r}) }}\nabla ^{2}\psi(\vec{r}) +V(\vec{r})=E_n $$V(r)已知，也是可以求出来的。
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已知0时刻的各定态，再依据薛定谔方程，就可知道各定态随时间的演化，再叠加
V(r)=0
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势函数=0，自由场，没有边界。这时薛定谔方程：
$$ i\hbar {\frac {1}{\varphi(t) }}{\frac {d\varphi(t) }{dt}} =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu}}{\frac {1}{\psi(\vec{r}) }}\nabla ^{2}\psi(\vec{r}) =E_n $$ -
右边的方程：
$$ \begin{align} -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu}}{\frac {1}{\psi(\vec{r}) }}\nabla ^{2}\psi(\vec{r})&=E_n\\ \nabla ^{2}\psi(\vec{r})&=-\frac{2\mu E_n}{\hbar^2}\psi(\vec{r}) \end{align} $$类似拉普拉斯方程，不过不等于0。而是$\nabla^2\psi=\alpha\psi$
拉普拉斯方程的解满足：$k_x^2+k_y^2+k_z^2=0$ 三个系数里面必须有实数有虚数；对于亥姆霍兹方程的解满足：$k_x^2+k_y^2+k_z^2=-\alpha=\frac{2\mu E_n}{\hbar^2}$，因为自由场无边界，如果有虚数，就会出现指数增加或衰减，都会出现无穷大的情况(e^-x在负无穷是无穷大)，不行。所以只能是3个实数，解的形式：$Ae^{i(k_xx+k_yy+k_zz)}$
令$\frac{E_n}{\hbar}=w$，所以$k^2=\frac{2\mu w}{\hbar}$，则$w=\frac{\hbar}{2\mu}k^2$ ，是一个抛物线，在正k半轴，各点w与k成正比，也正是因为各点群相位不同才有涨宽和收缩
在k空间里，不同的3个$k_x,k_y,k_z$可以构成相同的$w$
平面波相速度
- 保持相位一致的点的速度
- 对于x方向平面波：$e^{i(kx-w_kt)}$，它的相位：$\phi=k_x-w_kt$，相速度：$\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{w}{k}$
两个平面波相加
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$$
sin(k_1x)+sin(k_2x) = 2sin\frac{k_1+k_2}{2}x \cdot cos\frac{k_1-k_2}{2}x
$$
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群速度（对应平面波相速度）
$$ \begin{align} &\frac{dw}{dk}=\frac{\hbar}{\mu}k \end{align} $$ -
“波的动量”(对应粒子：mv) “只是远远看上去有这么个关系‘
$$ \frac{h}{\mu}k \cdot\mu=hk=p $$ -
“波的动能”(1/2 mv^2)
$$ \begin{align} &\frac{1}{2} (\frac{\hbar}{\mu}k)^2 \mu \\ =&\frac{1}{2} (\frac{\hbar}{\mu})^2 \frac{2\mu w}{\hbar} \mu \\ =&\hbar w \end{align} $$ -
“波主轴$k_0$质量”
$$ \mu = \hbar(\frac{d^2w}{dk^2})^{-1} $$频率与k的二阶导的倒数在乘上约化普朗克常数。
三维波
不确定性原理
- $$ \Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} $$
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其实是：
$$ \Delta x \Delta k \ge \frac{1}{2} $$$\Delta x$ 是波包宽度，$\Delta k$ 是傅里叶变换后有多少个k（$\frac{2\mu w}{\hbar}$）。
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$\Delta k=0$ 说明k 是确定值，表示全空间里都是这个k0，所以空间越大，说是k0越靠谱，空间越小，说是k0越不靠谱，会弥散