本系列笔记刊载的所有内容，包括文字、图片等，均来自云南大学丁怀义老师的课程《电磁场理论与计算》以及他的讲义，版权归丁怀义老师（dinghy@ynu.edu.cn）所有。

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1. 静电磁场

库伦定律解决了静电场的一切问题:

$$ \pmb E(\pmb x) = \iiint_V \frac{ρ(\pmb{x’})}{4πε_0 |\pmb x - \pmb{x’}|^3} (\pmb x - \pmb{x’}) d \pmb{V'}

\Longleftrightarrow

\begin{cases} \pmb ∇ \cdot \pmb E = \frac{ρ}{ε_0} \ \pmb ∇ × \pmb E = 0 \end{cases} $$

• 库伦定律可以推出高斯定律（电场散度等于电荷密度除以$ε_0$），但是高斯定律推不出库伦定律，还需要电场旋度=0（因为泊松方程使用的是电势，而电势场的旋度为0，所以由泊松方程 $\pmb ∇^2 φ = \frac{ρ(\pmb{x'})}{ε_0}$ 可以推出库伦定律）。

毕奥-萨伐尔定律解决了静磁场的一切问题：

$$ \left. \begin{aligned} \pmb B(\pmb x) = \frac{μ_0}{4π} \int \frac{\pmb J( \pmb{x’}) × (\pmb x - \pmb{x’})}{|\pmb x\ -\pmb{x’}|^3} dV’ \\ \pmb ∇ \cdot \pmb J = 0 \end{aligned} \right}

\Longleftrightarrow \begin{cases} ∇ \cdot \pmb B = 0 \ ∇ × \pmb B = μ_0 \pmb J(\pmb x) \end{cases} $$

• $\pmb B$ 的散度=0 是自然满足的，$\pmb B$ 的旋度是使用毕奥-萨伐尔定律和恒稳电流散度为0（$\pmb ∇ \cdot \pmb J = 0$）推出来的。

所以静电磁场核心可总结为以下四个微分方程：

外加一个约束方程：$\pmb ∇ \cdot \pmb J = 0$

2. 介质中

在电中性介质中（去除了净电荷），只剩极化电荷是若干个偶极子。电偶极子的一级近似为0（正负电荷相等，从远处看总电荷量为0）；（极化）恒稳电流产生的磁场的一级近似也等于0，所以都只保留到偶极项。把极化电荷和极化电流对电势和磁矢势的贡献纳入到电位移矢量 $\pmb D$ 和磁场强度 $\pmb H$ 中：

• $$ \pmb D = ε_0 \pmb E + \pmb P $$

  $\pmb E$ 是外电场，$\pmb P$ 是电极化强度（电偶极密度），对电位移矢量 $\pmb D$ 求散度：

• $$ \pmb ∇ \cdot \pmb D = ρ - ρ_p = ρ_f $$

  $ρ$ 是空间中全部电荷，$ρ_p$是极化电荷，两者一减就是自由电荷$ρ_f$ 。

• $$ \pmb H = \frac{\pmb B}{μ_0} - \pmb M $$

  $\pmb B$ 是空间磁感应强度（磁感线），$\pmb M$ 是磁化强度（磁偶极密度），对磁场强度$\pmb H$求旋度：

• $$ \pmb ∇ × \pmb H = \pmb J - \pmb J_m = \pmb J_f $$

  $\pmb J$是空间全部电流，$\pmb J_f$是极化电流。

于是，介质中麦克斯韦方程组可写成：

3. 变化的电磁场

在静电场和静磁场的方程中电场和磁场是分离的。但是：法拉第发现了磁生电：（磁铁穿过载流螺线管）变化的磁场能产生感生电动势；楞次确定了电动势的方向，总结为：

任何封闭电路中感应电动势的大小，等于穿过这一电路磁通量的变化率。

• $\pmb B$ 是磁感线密度？，乘上面积 s 就是磁通量。

根据斯托克斯定理：矢量场环路积分等于矢量场旋度的面积分

所以有：

在静电场中，E是保守场，环路积分一圈等于0，旋度为0；但是变化的电场的旋度与磁场有关。受此启发，麦克斯韦临门一脚，做了最后一个补充：电生磁。如果 $\pmb J$ 并非恒稳电流，即 $\pmb ∇ \cdot \pmb J \neq 0$，就不能推出 $\pmb ∇ × \pmb B = μ_0 \pmb J$ 了。对第四个方程求散度：

方程左边自动等于0（旋度场的散度等于零），再根据电荷守恒：

因为$\pmb ∇ \cdot \pmb E = \frac{ρ}{ε_0}$ 这个式子没改，把 $ρ$ 用 $\pmb E$ 来表示。

所以磁场的旋度改写为：

所以麦克斯韦方程组写为：

$ρ$ 和 $\pmb J$ 说明电荷决定了电磁场，再加上电荷在电磁场中的受力方程：

就解决了经典电磁学的一切动力学问题。

4. 介质中

如果在介质中，还是使用偶极近似，不过电偶极密度和磁偶极密度是时间的函数 $\pmb P(\pmb x ,t)$，$\pmb M( \pmb x ,t)$。极化电荷密度和极化电流密度的概念仍然成立：

$$

• \pmb ∇ \cdot \pmb P(\pmb x,t) = ρ_P \ \pmb ∇ × \pmb M(\pmb x,t) = \pmb J_M $$

电偶极子的正负电荷，在拉伸收缩时会有电流效应（电子移动）：

$$ \pmb p(t) = \sum q_i x_i(t) \quad \text{电偶极} \

\frac{d \pmb p}{d t} = \sum q_i v_i \quad \text{qv就是电流} $$

严谨写为：

因而：

$\pmb J_p$ 被称为“电极化电流”。将极化电荷 $ρ_P$ 极化电流 $\pmb J_M$ 和电极化电流 $\pmb J_p$ 代入方程组：

把 $ρ_P,\ ρ_M,\ \pmb J_M$ 的表达式代入麦克斯韦方程组：（考试要考）

仿照静电磁场中对电位移矢量和磁场强度的定义：

则：

所以介质中麦克斯韦方程组可写成：

由于 $\frac{∂ \pmb D}{∂ t}$ 在这里跟电流密度 $\pmb J$ 具有等同地位，所以 $\frac{∂ \pmb D}{∂ t}$ 也称作 “位移电流”，变化的电场产生磁场。