本系列笔记刊载的所有内容，包括文字、图片等，均来自云南大学丁怀义老师的课程《电磁场理论与计算》以及他的讲义，版权归丁怀义老师（dinghy@ynu.edu.cn）所有。

第四章

研究真空中电磁场的传播。

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4.1 真空平面电磁波

真空中没有电荷、电流（也没有介质，介质也是一种电荷）；平面波的波阵面（在任何时刻，波相位相等的每一点所形成的曲面）是相互平行的平面。平面波的传播方向垂直于波前（最前方的曲面）。
比如某电磁波沿 x 轴方向传播，在同一 y-z 平面上的点的值相同（颜色相同）。

图4.1.1 平面波
目的是简化电磁波的一般形式。根据麦克斯韦方程组：
$$ \left\{ \begin{aligned} \pmb ∇ \cdot \pmb E &= \frac{ρ_f}{ε_0} - \frac{\pmb ∇ \cdot \pmb P(\pmb x, t)}{ε_0} \\ \pmb ∇ × \pmb E &= -\frac{∂ \pmb B}{∂ t} \\ \pmb ∇ \cdot \pmb B &= 0 \\ \pmb ∇ × \pmb B &= μ_0 \pmb J_f + μ_0 \pmb ∇ × \pmb M(\pmb x, t) + μ_0 \frac{∂ \pmb P}{∂ t} + μ_0 ε_0 \frac{∂ \pmb E}{∂ t} \end{aligned} \right. \tag{4.1.1} $$
可简化为：（麦克斯韦方程组可推出真空电磁波，但真空电磁波推不出麦克斯韦方程组）
$$ \left\{ \begin{aligned} \pmb ∇ \cdot \pmb E &= 0 &\text{(真空无电荷)} \\ \pmb ∇ × \pmb E &= -\frac{∂ \pmb B}{∂ t} \\ \pmb ∇ \cdot \pmb B &= 0 \\ \pmb ∇ × \pmb B &= μ_0 ε_0 \frac{∂ \pmb E}{∂ t} &\text{(无电流,无介质)} \end{aligned} \right. \tag{4.1.2} $$
可以看到其中电场和磁场的形式不太对称：系数不同是由于单位选择，方向不同是左手系、右手系选择。

解波动方程

消元
电场、磁场的旋度再取旋度，于是等号右边就出现了对方：
$$ \left\{ \begin{aligned} &\pmb ∇ × (\pmb ∇ × \pmb E) = - \frac{∂}{∂ t}(\pmb ∇ × \pmb B) = -μ_0 ε_0 \frac{∂^2 \pmb E}{∂ t^2} \quad \text{(时间微分$\frac{∂}{∂ t}$与空间微分$\pmb ∇ ×$交换了位置)} \\ &\pmb ∇ × (\pmb ∇ × \pmb B) = μ_0 ε_0 \frac{∂}{∂ t}(\pmb ∇ × \pmb E) = -μ_0 ε_0 \frac{∂^2 \pmb B}{∂ t^2} \end{aligned} \right. $$
这时电场与磁场形式就对称了。

再根据公式： $\pmb ∇ × (\pmb ∇ × \pmb f) = \pmb ∇ (\pmb ∇ \cdot \pmb f) - \pmb ∇^2 \pmb f$ ，可以把电场、磁场写成拉普拉斯算符的形式：
$$ \left\{ \begin{aligned} &\pmb ∇ × (\pmb ∇ × \pmb E) = \pmb ∇ (\pmb ∇ \cdot \pmb E) - \pmb ∇^2 \pmb E = 0 -\pmb ∇^2 \pmb E & \text{(真空无电荷，电场散度为0)}\\ &\pmb ∇ × (\pmb ∇ × \pmb B) = \pmb ∇ (\pmb ∇ \cdot \pmb B) - \pmb ∇^2 \pmb B = 0 -\pmb ∇^2 \pmb B \end{aligned} \right. $$
从而可得电场和磁场的波动方程：
$$ \left\{ \begin{aligned} & \pmb ∇^2 \pmb E - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 \pmb E}{∂ t^2} = 0 \\ & \pmb ∇^2 \pmb B - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 \pmb B}{∂ t^2} = 0 \\ \end{aligned} \right. \tag{4.1.3} $$
其中，$c=\frac{1}{\sqrt{μ_0 ε_0}}$ 是光速。上面两个方程包含六个未知量：$E_x, E_y, E_z, B_x, B_y, B_z$ ，展开写为：
$$ \left\{ \begin{aligned} \pmb ∇^2 E_x - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 E_x}{∂ t^2} = 0 \\ \pmb ∇^2 E_y - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 E_y}{∂ t^2} = 0 \\ \pmb ∇^2 E_z - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 E_z}{∂ t^2} = 0 \\ \pmb ∇^2 B_x - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 B_x}{∂ t^2} = 0 \\ \pmb ∇^2 B_y - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 B_y}{∂ t^2} = 0 \\ \pmb ∇^2 B_z - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 B_z}{∂ t^2} = 0 \\ \end{aligned} \right. $$
它们都有同一种形式：
$$ \begin{aligned} \pmb ∇^2 ψ - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 ψ}{∂ t^2} = 0 \\ \frac{∂^2 ψ}{∂ x^2} + \frac{∂^2 ψ}{∂ y^2} + \frac{∂^2 ψ}{∂ z^2} - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 ψ}{∂ t^2} = 0 \end{aligned} $$

（空间和时间的系数不一样，$c^2$ 可以并到 $t$ 里，时间的度规是 -1，空间的度规是: $x^2+y^2+z^2$ 。）

这个波动方程是一个二阶三维微分方程，先简化为一维形式：波函数 $ψ$ 仅是 $x$ 和 $t$ 的函数，在任何一个 y-z 平面内$ψ$ 值为常量，就像一个平面在 x 方向传播，也就是平面波：

$$ \frac{∂^2 ψ}{∂ x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 ψ}{∂ t^2} =0 $$

它的解的形式为：

$$ ψ(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct) $$

可以看到有两个波包，$f(x-ct)$是以速度为 $c$ 的波包向右传播，$g(x+ct)$是速度为 $-c$ 的波包向左传播，且波包的形状 $f(x), g(x)$ 不变。

图4.1.2

$f(x)$ 和 $g(x)$ 的具体形式由初始条件和边界条件决定。

例如给出边界条件：

$$ \left \{ \begin{aligned} ψ(x,0) &= u(x) & \text{(初始时刻任意位置场的大小)}\\\\ \frac{∂ ψ}{∂ t} |_{t=0} &= v(x) & \text{(初始时刻场的变化率)} \end{aligned} \right. $$

对于二阶微分方程，仅知道初始时刻场的大小是不能知道以后各时刻的演化的。就像对于牛二定律，只知道加速度，但不知道初始速度，也无法确定各时刻的情况。所以初始条件还需要给出初始时刻场的变化率。

把两个初始条件带入平面波解的形式，可得两个方程：

$$ \left \{ \begin{aligned} & f(x) + g(x) = u(x) \\ & -c f'(x) + c g'(x) = v(x) \\ \end{aligned} \right. $$

两个方程可以解出两个未知量$f(x),g(x)$。第2式中有一阶导，对两边积分（积分上下限随意，因为积分结果是一个数，后面有常量m可以做补充）可得：

$$ f(x)-g(x) = - \frac{1}{c} \int _0 ^x v(ξ)dξ +m $$

从而可解出两个波包：

$$ \left \{ \begin{aligned} f(x) = \frac{1}{2} \left[ u(x)-\frac{1}{c} \int_0^x v(ξ)dξ + m\right] \\ g(x) = \frac{1}{2} \left[ u(x)+\frac{1}{c} \int_0^x v(ξ)dξ -m\right] \end{aligned} \right. $$

所以波函数的解为：

$$ ψ(x,t) = \frac{1}{2} \left[ u(x-ct) + u(x+ct) + \frac{1}{c} \int_{x-ct}^{x+ct} v(ξ) dξ \right] $$

也就是说如果给定了初始条件：初始时刻任意位置场的大小和场的变化率，就可得到场在未来任意时刻的分布。这个解的物理意义是：给电磁场一个初始变化率，电磁场会演化分成两个波包，一个向左一个向右传播。

图4.1.3

例1 一分二

初始条件：初始时刻场的变化率为零，即：
$$ v(ξ) = \frac{∂ ψ}{∂ t} |_ {t=0} = 0 $$
对变化率积分，也就是波函数解的第三项：$\frac{1}{c} \int_{x-ct}^{x+ct} v(ξ) dξ = 0$ ，所以波函数的解：
$$ ψ(x,t) = \frac{1}{2} \left[u(x-ct) + u(x+ct) \right] $$
所研究的 $\pmb E$ 和 $\pmb B$ 是时间的函数。如果没有初始变化率，则初始时刻的波包有一半向右传播，一半向左传播，两个波包的形状与初始时刻的波包形状相同。

图4.1.4

例2 只向左传播

初始时刻场的时间变化率为：空间变化率乘c：
$$ v(ξ) = \frac{∂ ψ}{∂ t} \bigg| _{t=0} = c u'(ξ) $$
变化率积分得：
$$ \frac{1}{c} \int_{x-ct}^{x+ct} v(ξ) dξ = u(x+ct) - u(x-ct) $$
从而可写出波函数：
$$ \begin{aligned} ψ(x,t) & = \frac{1}{2} \left[ u(x-ct) + u(x+ct) + \frac{1}{c} \int_{x-ct}^{x+ct} v(ξ) dξ \right] \\ & = \frac{1}{2}\left[ u(x-ct) + u(x+ct) + u(x+ct) - u(x-ct) \right] \\ & = u(x+ct) \end{aligned} $$
根据变化率，下一时刻，x1的值会增加 $u(x_1)-u(x_0)$ ，所以波包是在向左移动

图4.1.5

例3 只向右传播

初始时刻场的时间变化率为：空间变化率乘 c 的负数：
$$ v(ξ) = \frac{∂ ψ}{∂ t} |_{t=0} = -c u'(ξ) $$
则变化率积分后：
$$ \frac{1}{c} \int_{x-ct}^{x+ct} v(ξ) dξ = u(x-ct) - u(x+ct) $$
从而波函数的解为：
$$ \begin{aligned} ψ(x,t) & = \frac{1}{2} \left[ u(x-ct) + u(x+ct) + \frac{1}{c} \int_{x-ct}^{x+ct} v(ξ) dξ \right] \\ & = \frac{1}{2}\left[ u(x-ct) + u(x+ct) - u(x+ct) + u(x-ct) \right] \\ & = u(x-ct) \end{aligned} $$
根据变化率，下一时刻，x1的值会减少 $u(x_1)-u(x_0)$ 这么多，也就是变成了x0的值，就是向右移动了。

图4.1.6

三维平面波

电磁场在 y-z 平面内无变化，仅在 x 方向有空间变化和传输。
根据一维平面波的解可知其解的形式为两个波包的组合：
$$ \left\{ \begin{aligned} & \pmb E = \pmb{E_1}(x-ct) + \pmb{E_2}(x+ct) \\ & \pmb B = \pmb{B_1}(x-ct) + \pmb{B_2}(x+ct) \end{aligned} \right. $$
这六个波并非是各自独立的，还受到麦克斯韦方程组的约束。
对于$E_x$ ：

由$\pmb ∇ \cdot \pmb E =0$，可得：$\frac{∂ E_x}{∂ x} + \frac{∂ E_y}{∂ y} + \frac{∂ E_z}{∂ z} =0$ ;

又因为 $\pmb E$ 在 y-z 平面内无变化：$\frac{∂ E_y}{∂ y}=0, \frac{∂ E_z}{∂ z}=0$，从而 $\frac{∂ E_x}{∂ x}=0$ 也应当为零，即$E_x$不随空间位置变化。

由 $\pmb ∇ × \pmb B = μ_0 ε_0 \frac{∂ \pmb E}{∂ t}$ 可得：
$$ \begin{aligned} \frac{∂ E_x}{∂ t} &= \frac{1}{μ_0 ε_0} \left( \frac{∂ B_y}{∂ z} - \frac{∂ B_z}{∂ y} \right) \\ &= \frac{1}{μ_0 ε_0}(0-0) =0 \end{aligned} $$
说明 $E_x$ 也不随时间变化。踪上所述，$E_x$ 是一个恒定均匀电场，因为研究的是随时间变化的场，所以这部分不在考虑范围内，就取$E_x = 0$。
对于 $B_x$：

同样，由$\pmb ∇ \cdot \pmb B=0,\ \pmb ∇ × \pmb E = -\frac{∂ \pmb B}{∂ t}$，可知 $B_x$ 也是一个不随空间和时间变化的场，取$B_x = 0$。

这样真空电磁波就是横波：在传播方向（x方向）上没有分布，只有在 y-z 方向上有分量，与传播方向垂直。
对于 $E_z$ 和 $B_y$：
- 根据电场旋度等于磁场时间微分的相反数$\pmb ∇ × \pmb E = - \frac{∂ \pmb B}{∂ t}$，可推出 $\frac{∂ B_y}{∂ t}$ 与 $\frac{∂ E_z}{∂ x}$ 的关系：
  $$ \begin{aligned} \pmb ∇ × \pmb E & = - \frac{∂ \pmb B}{∂ t}\\ \begin{vmatrix} \pmb i & \pmb j & \pmb k \\ \frac{∂}{∂ x} & \frac{∂}{∂ y} & \frac{∂}{∂ z} \\ E_x & E_y & E_z \end{vmatrix} &=- \frac{∂ \pmb B}{∂ t} \\ (\frac{∂ E_z}{∂ y} - \frac{∂ E_y}{∂ z}) \pmb i -(\frac{∂ E_z}{∂ x} - \frac{∂ E_x}{∂ z}) \pmb j +(\frac{∂ E_y}{∂ x} - \frac{∂ E_x}{∂ y}) \pmb k &= - (\frac{∂ B_x}{∂ t} \pmb i + \frac{∂ B_y}{∂ t} \pmb j + \frac{∂ B_z}{∂ t} \pmb k)\\ (\frac{∂ E_z}{∂ y} - \frac{∂ E_y}{∂ z}) \pmb i - (\frac{∂ E_z}{∂ x} - 0) \pmb j + (\frac{∂ E_y}{∂ x} - 0) \pmb k = &= - (0 + \frac{∂ B_y}{∂ t} \pmb j + \frac{∂ B_z}{∂ t} \pmb k ) \end{aligned} $$
  根据对应项相等，可得：
$$ \frac{∂ B_y}{∂ t} = \frac{∂ E_z}{∂ x}-\frac{∂ E_x}{∂ z} = \frac{∂ E_z}{∂ x} - 0 = \frac{∂ E_z}{∂ x} $$
也就是$B_y$的时间微分等于$E_z$对x求导，根据三维平面波解的形式，可知以下关系：
$$ -c B'_{y1}(x-ct) + cB'_{y2}(x+ct) = E_{z1}'(x-ct) + E_{z2}'(x+ct) \tag{4.1.6} $$
- 由磁场的旋度等于电场的时间微分$\pmb ∇ × \pmb B = μ_0 ε_0 \frac{∂ \pmb E}{∂ t}$ ，可得$\frac{∂ E_z}{∂ t}$与$\frac{∂ B_y}{∂ x}$的关系：
  $$ \begin{aligned} \pmb ∇ × \pmb B &= μ_0 ε_0 \frac{∂ \pmb E}{∂ t} \\ \begin{vmatrix} \pmb i & \pmb j & \pmb k \\ \frac{∂}{∂ x} & \frac{∂}{∂ y} & \frac{∂}{∂ z} \\ B_x & B_y & B_z \\ \end{vmatrix} & = μ_0 ε_0 \left( \frac{∂ E_x}{∂ t} \pmb i + \frac{∂ E_y}{∂ t} \pmb j + \frac{∂ E_z}{∂ t} \pmb k \right) \\ \left( \frac{∂ B_z}{∂ y} - \frac{∂ B_y}{∂ z} \right) \pmb i - \left( \frac{∂ B_z}{∂ x} - \frac{∂ B_x}{∂ z} \right) \pmb j + \left( \frac{∂ B_y}{∂ x} - \frac{∂ B_x}{∂ y} \right) \pmb k & = μ_0 ε_0 \left( \frac{∂ E_x}{∂ t} \pmb i + \frac{∂ E_y}{∂ t} \pmb j + \frac{∂ E_z}{∂ t} \pmb k \right) \\ ()\pmb i - (\frac{∂ B_z}{∂ x} - 0) \pmb j + (\frac{∂ B_y}{∂ x} - 0) \pmb k & = μ_0 ε_0 (0 + \frac{∂ E_y}{∂ t} \pmb j + \frac{∂ E_z}{∂ t} \pmb k) \end{aligned} $$
  根据对应项相等，可得：
  $$ \frac{1}{c^2} \frac{∂ E_z}{∂ t} = \frac{∂ B_y}{∂ x} - 0 = \frac{∂ B_y}{∂ x} $$
  也就是$E_z$的时间微分等于$c^2$乘以$B_y$对x求导。把三维平面波的解代入其中，得到以下关系：
  $$ -E_{z1}'(x-ct)+E_{z2}'(x+ct) = cB_{y1}'(x-ct) + cB_{y2}'(x+ct) \tag{4.1.7} $$
  由 4.1.6 和 4.1.7 两式，可得：
  $$ \left\{ \begin{aligned} c B_{y1}'(x-ct) &= -E_{z1}'(x-ct) \\ c B_{y2}'(x+ct) &= E_{z2}'(x+ct) \\ \end{aligned} \right. $$
  两边积分后，忽略直流项可得：
  $$ \left\{ \begin{aligned} c B_{y1}(x-ct) &= -E_{z1}(x-ct) \\ c B_{y2}(x+ct) &= E_{z2}(x+ct) \\ \end{aligned} \right. $$
这个关系表明 $B_y$ 与 $E_z$ 形状相同，大小相差c倍，当 $E_z$ 沿正方向传播时，$B_y$ 在负半轴；当 $E_z$ 沿负方向传播时，$B_y$ 在正半轴。

图4.1.7
对于 $E_y$和$B_z$ ：

根据 $\pmb ∇ × \pmb E = - \frac{∂ \pmb B}{∂ t}$ 和 $\pmb ∇ × \pmb B = μ_0 ε_0 \frac{∂ \pmb E}{∂ t}$ 可推出$E_y$ 和 $B_z$的关系，然后把三维平面波的解的形式代入其中，可得：
$$ \left\{ \begin{aligned} c B_{z1}(x-ct) = E_{y1}(x-ct) \\ c B_{z2}(x+ct) = -E_{y2}(x+ct) \end{aligned} \right. $$
则$\pmb B$ 的 z 方向分量与 $\pmb E$ 的 y 方向分量的关系：

图4.1.8

$B_z$与$E_y$形状相同，大小相差c倍；当$B_z$沿正方向传播时，$E_y$在正半轴；当$B_z$沿负方向传播时，$E_y$在负半轴。
将传输方向把4个波分组得：
$$ 向右： \left \{ \begin{aligned} c B_{y1}(x-ct) = -E_{z1}(x-ct) \\ c B_{z1}(x-ct) = E_{y1}(x-ct) \end{aligned} \right. $$$$ 向左： \left \{ \begin{aligned} c B_{y2}(x+ct) = E_{z2}(x+ct) \\ c B_{z2}(x+ct) = -E_{y2}(x+ct) \end{aligned} \right . $$
可以看出，电场与磁场垂直，且电磁波传播方向为$\pmb E × \pmb B$ （右手定则）。
由于$\pmb E$ 和 $\pmb B$ 之间的微分关系（方向锁定和大小比例相差c倍），只要给出 $\pmb E$ 和 $\pmb B$ 的初始时刻场分布，无须知道初始随时间变化率，即可得到任意时刻 $\pmb E$ 和 $\pmb B$ 的场分布。

例如，给出初始时刻的$E_y(x)$ 和 $B_z(x)$ :
$$ \left\{ \begin{aligned} & E_{y1}(x) + E_{y2}(x) = E_y(x) &\text{两个波包组合} \\ & B_{z1}(x) + B_{z2}(x) = B_z(x) \\ & E_{y1}(x) = c B_{z1}(x) &\text{向右传播}\\ & E_{y2}(x) = -c B_{z2}(x) &\text{向左传播} \end{aligned} \right. $$
就可解得：
$$ \left \{ \begin{aligned} E_{y1}(x) = \frac{1}{2} \left[ E_y(x) + c B_z(x) \right] \\ B_{z1}(x) = \frac{1}{2c} \left[ E_y(x) + c B_z(x) \right] \\ E_{y2}(x) = \frac{1}{2} \left[ E_y(x) - c B_z(x) \right] \\ B_{z2}(x) = - \frac{1}{2c} \left[ E_y(x) - c B_z(x) \right] \\ \end{aligned} \right. $$
再加入时间 t：
$$ \left \{ \begin{aligned} E_{y1}(x,t) &= \frac{1}{2} \left[ E_y(x-ct) + cB_z(x-ct) \right] & \text{向右传播}\\ B_{z1}(x,t) &= \frac{1}{2c} \left[ E_y(x-ct) + cB_z(x-ct) \right] & \text{向右传播}\\ E_{y2}(x,t) &= \frac{1}{2} \left[ E_y(x+ct) - cB_z(x+ct) \right] & \text{向左传播} \\ B_{z2}(x,t) &= -\frac{1}{2c} \left[ E_y(x+ct) - cB_z(x+ct) \right] & \text{向左传播} \\ \end{aligned} \right. $$
- 如果初始时刻 $E_y(x)=cB_z(x)$，那么解为：
  $$ \left\{ \begin{aligned} & E_{y1}(x,t) = c E_y(x-ct) \\ & B_{z1}(x,t) = B_z(x-ct) \\ & E_{y2}(x,t) = 0 \\ & B_{z2}(x,t) = 0 \end{aligned} \right. $$
  说明仅有沿正方向传输的波包：
  
  图4.1.9
- 如果初始时刻 $E_y(x)=-c B_z(x)$ ，则解为：
  $$ \left\{ \begin{aligned} & E_{y1}(x,t) = 0 \\ & B_{z1}(x,t) = 0 \\ & E_{y2}(x,t) = c E_y(x+ct) \\ & B_{z2}(x,t) = B_z(x+ct) \end{aligned} \right. $$
  图4.1.10
- 若初始时刻 $B_z(x)=0$ ，则解为：
  $$ \left\{ \begin{aligned} & E_{y1}(x,t) = \frac{1}{2} E_y(x-ct) \\ & B_{z1}(x,t) = \frac{1}{2c} B_y(x-ct) \\ & E_{y2}(x,t) = \frac{1}{2} B_y(x+ct) \\ & B_{z2}(x,t) = -\frac{1}{2c} B_y(x+ct) \end{aligned} \right. $$
  有一半波包沿正向传输，另一半向负方向传输，所以在初始时刻两次磁场抵消了。
  
  图4.1.11

总结：

真空平面电磁波有以下特点:

电场和磁场都是横波，即电场和磁场矢量与波的传输方向垂直。
某一特定方向传输的电磁波其电场和磁场相互垂直。
某一特定方向传输的电磁波的波包可以是任意形状，且传输过程形状不变。
某一特定方向传输的电场和磁场波包形状相同，比例为$|\pmb E| = c |\pmb B|$。
某一特定方向传输的电磁波的传输方向由电场和磁场方向锁定，传输方向为$\pmb E × \pmb B$ 的方向

4.2 真空平面时谐电磁波

时谐：随时间谐振。

电磁场以固定频率 $ω$ 震荡，沿着 $x$ 轴正方向传播：
$$ \left \{ \begin{aligned} \pmb E(x,t) = \pmb E_0 \mathrm{cos}[k(x-ct)+θ] \\ \pmb B(x,t) = \pmb B_0 \mathrm{cos}[k(x-ct)+θ] \end{aligned} \right. $$
角频率$ω=ck$；

时间周期：$T=\frac{2π}{ω}$；

空间周期(波长)：$\lambda=\frac{2π}{k}$（所以$ω$和$k$是对应的）；

电场磁场同相位$θ$；

电场$\pmb E_0$与磁场$\pmb B_0$相互垂直，且均在 y-z 平面内，大小关系为 $\left|\pmb{E_0} \right| = c \left|\pmb{B_0} \right|$；

传播方向$\pmb{E_0} × \pmb{B_0}$沿着x 轴正方向。

不考虑共同相位，则时谐电磁波可写成：
$$ \left \{ \begin{aligned} \pmb E(x,t) = \pmb{E_0} cos(kx-ωt) \\ \pmb B(x,t) = \pmb{B_0} cos(kx-ωt) \end{aligned} \right. $$
这个形式也适用沿着 x 轴负方向传播，不过$ω=-ck$。

沿任意方向

沿任意 $\pmb x(x,y,z)$ 方向传播的时谐电磁波：

画图

k 的矢量特性

波矢$\pmb k$ 是空间频率，因为空间有三个维度，所以要表明是在哪个方向上的空间频率。

分离变量法

认为4个自变量独立，即平面时谐电磁波的6个分量都是4个独立函数的乘积：
$$ E_i(\pmb r,t) = f_1(x) f_2(y) f_3(z) g(t) $$
步骤：
1. 代入二阶微分方程：
  
  电磁波的6个分量（$E_x,E_y,E_z,B_x,B_y,B_z$）都满足二阶微分方程：
  $$ \pmb ∇^2 ψ - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 ψ}{∂ t^2}=0 $$
  将$E_i(\pmb r,t)$ 代入此方程：
  $$ \begin{aligned} f_2(y) f_3(z) g(t) \frac{∂^2 f_1(x)}{∂ x^2} & + f_1(y) f_3(z) g(t) \frac{∂^2 f_2(y)}{∂ y^2} + \\ f_1(y) f_2(z) g(t) \frac{∂^2 f_3(z)}{∂ z^2} & - \frac{1}{c^2} f_1(x) f_2(y) f_3(z) \frac{∂^2 g(t)}{∂ t^2}=0 \end{aligned} $$
2. 等号两边都除以 $E_i$ :
  
  $$ \frac{ \frac{∂^2 f_2(y)}{∂ y^2} }{f_1(x)}
  - \frac{ \frac{∂^2 f_2(y)}{∂ y^2} }{f_2(y)}
  - \frac{ \frac{∂^2 f_3(z)}{∂ z^2} }{f_3(z)}
  - \frac{1}{c^2} \frac{ \frac{∂^2 g(t)}{∂ t^2} }{g(t)} =0 $$
3. 令这四项分别等于：$-k_x^2,\ -k_y^2,\ -k_z^2,\ \ k_x^2+k_y^2+k_z^2$ ，则：
  $$ \begin{aligned} \frac{∂^2 f_2(y)}{∂ y^2} + k_x^2 f_1(x) = 0 \\ \frac{∂^2 f_2(y)}{∂ y^2} + k_y^2 f_2(y) = 0 \\ \frac{∂^2 f_3(z)}{∂ z^2} + k_z^2 f_3(z) = 0 \\ \frac{∂^2 g(t)}{∂ t^2} + ω^2g(t) = 0 \\ \end{aligned} $$
  其中 $ω^2=c^2(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2)$ 。从实数域变到复数域的好处是不用分正弦和指数2种情况讨论，解都用指数形式表示。在真空场中，满足拉普拉斯方程：
$$ \pmb ∇^2 \varphi = 0 \implies k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = 0 $$
3个k里面至少有一个$k_i$是虚数；对于四维时空，满足：
$$ \pmb ∇^2 ψ - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 ψ}{∂ t^2} = 0 \implies k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 - \frac{ω^2}{c^2}=0 $$
因为有时间项的存在，所以可以在 xyz 三个方向上全是实数，即传播不会衰减，但是现实不接受无穷大，要用边界限制；

也可以有2个方向远大于$\frac{ω^2}{c^2}$，比如$k_x^2 + k_y^2 \gg \frac{ω^2}{c^2}$, 则 $k_z^2$ 是虚数，也就是x,y 方向上震荡，z方向衰减。
1. 解得？：
  $$E_i(x,t) = E_{i0} e^{i(k_x x + k_y y + k_z z-ωt)} = E_{i0} e^{i(\pmb k \cdot \pmb t - ω t)}$$
  所以真空平面时谐电磁波的解为：
  $$ \left\{ \begin{aligned} \pmb E = \pmb {E_0} e^{i(\pmb k\cdot \pmb r- ω t)}\\ \pmb B = \pmb {B_0} e^{i(\pmb k \cdot \pmb r- ω t)} \end{aligned} \right. $$
  此解同样受麦克斯韦方程组约束：
  
  根据：$\left \{ \begin{aligned} \pmb ∇ \cdot \pmb E =0 \\ \pmb ∇ \cdot \pmb B =0 \end{aligned} \right.$ ，可得：$\left\{ \begin{aligned} \pmb E_0 \cdot \pmb k =0 \\ \pmb B_0 \cdot \pmb k=0 \end{aligned} \right.$，说明：$\pmb{E_0}$$与$$\pmb k$垂直，$\pmb{B_0}$与$\pmb k$垂直。
  
  根据：$\left\{ \begin{aligned} \pmb ∇ × \pmb E = -\frac{∂ \pmb B}{∂ t}\\ \pmb ∇ × \pmb B=μ_0 ε_0 \frac{∂ \pmb E}{∂ t} \end{aligned} \right.$，可得：$\left\{ \begin{aligned} i \pmb k × \pmb{E_0} = -iω \pmb{B_0} \\ i \pmb k × \pmb{B_0} = iμ_0 ε_0 ω \pmb{E_0} \end{aligned} \right.$ ，说明：$\pmb{E_0}, \pmb{B_0},\pmb k$ 三个向量相互垂直，遵循右手定则，且电场和磁场同相位。也就是说真空平面时谐电磁波是真空平面电磁波的特例：
  
  图4.2.1

偏振

相位差

$e^{iθ}$ ，就是两个振动的比值。
对于两个同频率的运动：$\left\{ \begin{aligned} a(t) &= A cos\, ωt \\ b(t) &= B cos (ωt+θ) \end{aligned} \right.$

用复数表示：$\left\{ \begin{aligned} \widetilde{a(t)} &= A e^{iωt} \\ \widetilde{b(t)} &= B e^{iωt+θ} \end{aligned} \right.$

两个运动的比值就是复振幅：$Arg \left( \frac{ \widetilde{b(t)} }{\widetilde{a(t)}} \right) = \frac{B}{A} e^{iθ}$ ，$ωt$消掉了，只包含相位差和两个振幅的比值。

4.3 介电常数

就是电位移矢量 $\widetilde{\pmb D(ω)}$ 与电场 $\widetilde{\pmb E(ω)}$ 之间的相位差： $\frac{\widetilde{\pmb D(ω)}}{\widetilde{\pmb E(ω)}}=e^{i θ}$
.
在真空中，$μ_0 ε_0$ 不随时间变化，所以介电常数对电磁波的传输没有影响；但对于时谐电场，介质极化可能跟不上电场的节奏（$\pmb P(t) = ε_0 \chi_e \pmb E(t)$），使得电极化率 $\chi_e$ 也是时间的函数，则介电常数 $ε = ε_0 (1+\chi_e)$ 也随时间变化，导致解方程组很麻烦。如果介电常数不随时间变化，就可以直接套用真空电磁波的解；而在频域下，介电常数表达式中没有时间$t$。
偶极就是电子的偏移量乘以电荷：
$$ \pmb p = -e \pmb{x} $$
电子偏移量按经典力学分析求解（见下小节），所以一个电荷产生的偶极为：
$$ \pmb p = -e \pmb{x_0} e^{-i ω t} = \frac{e^2 \pmb{E_0} e^{-i ω t}}{m \left[ω_0^2 - ω^2 - i ω γ \right]} $$
偶极密度$\pmb P$（单位体积内偶极的数量为 n）：
$$ \widetilde{\pmb P(t)} = \frac{n e^2 \pmb{E_0} e^{-i ω t}}{m \left[ω_0^2 - ω^2 - i ω γ \right]} $$
所以电极化率 $\chi_e$ 为:
$$ \chi_e = \frac{ \widetilde{\pmb P(t)}}{ ε_0 \widetilde{\pmb E(t)}} = \frac{n e^2}{ε_0 m \left[ω_0^2 - ω^2 - i ω γ \right]} $$
所以介电常数表达式为：
$$ ε(ω) = ε_0(1+ \chi_e) = ε_0 + \frac{n e^2}{ m \left[ω_0^2 - ω^2 - i ω γ \right]} $$
介电常数$ε(ω)$ 是个实数：结果与真空情况相同

介电常数$ε(ω)$ 是个复数：k也可能是复数，虽与真空形式相同，但物理意义不同。

电子动力学

按经典观点分析：电子是质点，受3个力：外电场力、回复力、阻力:
$$ \begin{aligned} 电场力：& -e \pmb E(\pmb x,t) & \\ 回复力：& \pmb F = -k \pmb x & \text{(微观单元中电子位移后产生)}\\ 阻力：& \pmb f = -a \dot{\pmb x} & \text{(近似正比于速度)}\\ \end{aligned} $$
根据牛顿第二定律，电子的运动微分方程为：
$$ m \left[\ddot{\pmb x} + γ \dot{\pmb x} + ω_0^2 \pmb x \right] = -e \pmb E(\pmb x,t) $$
其中：$γ = \frac{\alpha}{m},\ ω_0^2 = \frac{k}{m}$
这个二阶微分方程是受迫振动模型，方程的解与初始时刻电子位置 $\pmb x$ ，速度 $\dot{\pmb x}$，电场随时间的变化率$\pmb E(\pmb x, t)$ 都有关系。
当电场为谐振形式时：
$$ \pmb E(\pmb x,t) = \pmb{E_0} cos(ω t) $$
电子位移的解也应当具有角频率为 $ω$ 的振荡，即为 $sin(ω t)$ 和 $cos(ω t)$ 的线性组合形式。采用复数的表达形式，则电场写为：$\pmb E = \pmb{E_0} e^{-i ω t}$ ，电子位移写成 $\pmb x = \pmb{x_0} e^{-i ω t}$，其中 $\pmb{x_0}$ 也是复数，被称为复振幅，包含了与电场振动的相位差。

原牛二方程可写为：
$$ \begin{aligned} m \left[ -ω^2 - iω γ + ω_0^2 \right] \pmb{x_0} e^{-i ω t} = -e \pmb{E_0} e^{-i ω t} \\ \pmb{x_0} = \frac{-e \pmb{E_0}}{m \left[ω_0^2 - ω^2 - i ω γ \right]} \end{aligned} $$

复相位

同时包含了振幅和相位角
$$ \begin{aligned} \pmb{x_0} &= - \frac{e\pmb{E_0}}{m} \frac{1}{ω_0^2 - ω^2 - iω γ} \\ & = -\frac{e \pmb{E_0}}{m} (ω_0^2 - ω^2 - iω γ)^{-1} \\ \end{aligned} $$
振幅：$\sqrt{(ω_0^2 - ω^2)^2+(-ω γ)^2}$

幅角：$\left\{ \begin{aligned} sin θ &= \frac{-ω γ}{\sqrt{(ω_0^2 - ω^2)^2+(-ω γ)^2}} \\ cos θ &= \frac{ω_0^2-ω^2}{\sqrt{(ω_0^2 - ω^2)^2+(-ω γ)^2}} \\ tan θ &= \frac{-ω γ}{ω_0^2 - ω^2} \end{aligned} \right.$

色散关系

在分离变量解四维时空的“拉普拉斯方程”时，需要满足：
$$ \begin{aligned} ω^2 &= \nu^2(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2) \\ ω^2 &= \frac{1}{μ_0 ε(ω)} (k_x^2 + k_y^2 + k_z^2) \end{aligned} $$
介电常数$ε(ω)$ 决定了色散关系，$ω$ 是 $k$ 的函数。
当$ε(ω) = ε_0$ 时，$ω = c k$，$ω$ 与 $k$ 是线性关系，也就是真空平面波，随时间推波形不变。

$ε_r(ω)$>1介质

$$ ε(ω) > ε_0(ω) $$
$$ ε(ω) = ε_0 + \frac{n e^2}{m} \frac{1}{ω_0^2 - ω^2 + i ω γ} $$
当$ω \ll ω_0$ 且 $γ \ll ω_0$ 时，介电常数$ε(ω)$ (近似) 为实数，而且相位差很小：
$$ tan θ = \frac{ω γ}{ω_0^2-ω^2} $$
可以看作 $\pmb D(ω)$ 与 $\pmb E(ω)$ 是同相位，$\pmb E(ω)$ 发生了变化，$\pmb D(ω)$ 立刻跟上。

在此种介质中，某一频率的平面光的波矢$\pmb k(ω)$ 大于该频率在真空中的波矢$\pmb{k_0}(ω)$，波长小于真空中的波长：

$$ \begin{aligned} k(ω) = \sqrt{μ_0 ε(ω)} ω = \sqrt{μ_0 ε_0 ε_r(ω)} ω = \sqrt{ε_r(ω)} k_0(ω) > k_0(ω) \\\\ \lambda(ω) = \frac{2π}{k(ω)} = \frac{2π}{\sqrt{\epsilon_r(ω)}k_0(ω)} = \frac{\lambda_0}{\sqrt{ε_r(ω)}}< \lambda_0 \end{aligned} $$

在此种介质中，某一频率的平面光的相速度小于真空光速：
$$ \nu_{ph}(ω) = \frac{ω}{k(ω)} = \frac{1}{\sqrt{μ_0 ε(ω)}} = \frac{1}{\sqrt{μ_0 ε_0 ε_r(ω)}} = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r(ω)}} < c $$
不同频率的电磁波的相速度不同，由$ε(ω)$决定。（相速度就是某一频率波的传播速度）

傅里叶展开

群速度

波包中心的传输速度：$\nu_g = \frac{d ω}{d k}$
任意平面电磁波，在初始时刻，可以用傅里叶变换分解成一系列不同频率$ω$ 的时谐平面电磁波的叠加，因为频率不同，传输速度不同，在传播一段时间之后，将各个波包叠加起来后与初始时刻形状不同。因此很难精确描述波包的传输速度，需要使用群速度来大概描述波包中心的传输速度。
证明：对于一维函数$u(x,t)$ 可做傅里叶展开为一系列波矢 k 的波的积分：
$$ u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} \int A(k) e^{ikx-i ω t} dk $$
其中：
$$ A(k) = \frac{1}{\sqrt{2π}} \int u(x,0) e^{-kx} dx $$
为波包初始时刻在 $k$ 空间展开的系数，每一个 $k$ 对应着一个振动频率 $ω = ω(k)$ ，之后各波包以 $e^{ikx-iω t}$ 的形式传输。

因为 $ω(k)$ 形式很复杂，取 $k_0$ 为这个波包 $A(k)$ 的波包中心波矢，$ω(k)$ 在 $k_0$ 处的泰勒展开为：
$$ ω(k) = ω(k_0) + \left. \frac{d ω}{d k} \right|_{k_0} (k-k_0) + \frac{1}{2} \left. \frac{d^2 ω}{d k^2} \right|_{k_0} (k-k_0)^2 + \cdots $$
取一级线性近似，令 $ω_0 = ω(k_0)$，把$ω(k)$代入波包表达式$u(x,t)$：
$$ \begin{aligned} u(x,t) &\approx \frac{1}{\sqrt{2π}} \int A(k)\ exp \left[ ikx - i \left( ω(k_0) + \frac{d ω(k)}{d k} |_{k_0}(k-k_0) \right) \right] dk \\ & = \frac{exp \left[ i \left( \frac{d ω(k)}{d k} |_{k_0} k_0 - ω_0 \right) t \right] }{\sqrt{2π}} \int A(k) exp \left[ ikx-i \frac{d ω}{dk} |_{k_0} kt \right] dk & \text{(把与 k 无关的部分提到积分号外面)} \\ & = \underbrace{ exp \left[ i \left( \frac{d ω (k)}{d k} \bigg|_{k_0} - ω_0 \right) t \right] } _{随时间振荡因子，振幅为1} \cdot \underbrace{ u \left(x-\frac{d ω}{d k} \bigg|_{k_0}t,\ 0 \right) } _{波包以速度为\frac{dω}{dk} 传播} \end{aligned} $$
当 $ω(k) = v_g(k-k_0)$ 时，振荡因子等于0，整个波包的传输以$\nu_g$ 稳定传输，且群速度等于相速度；

当 $ω(k) = \nu _g k + \alpha$ 线性函数时，振荡因子不等于0，有细节振动；

当 $ω(k) = ω_0 + \nu_g(k-k_0)$ 时，上式$u(x)$ 约等号变为等号，波包的传输速度就等于$\frac{d ω}{d k}$ ，且波包形状不随时间变化。但是相位因子: $\left( \left. \frac{d ω}{d k} \right|_{k_0}k_0 - ω_0 \right) t$ 不为零，所以传输过程还有个整体的振荡。
一个频率的速度是 相速度：$\nu_{ph}= \frac{ω}{k}$

多个频率叠加的速度是 群速度：$\nu_g = \frac{\rm d ω}{d k}$

4.6 介质界面处

在两种不同介电常数的材料交界面处，有三束波：

$$ \begin{array}{c} 入射波i： \begin{array}{cc} \left{ \begin{array}{c} \pmb{E_i} = \pmb{E_{i0}} e^{i(\pmb k_i \cdot x - ω_i t)} \ \pmb{B_i} = \pmb{B_{i0}} e^{i(\pmb k_i \cdot x - ω_i t)} \end{array} \right. \end{array}\

反射波 r：
\begin{array}{cc}
	\left\{
		\begin{array}{c}
		\pmb{E_r} = \pmb{E_{r0}} e^{i(\pmb k_r \cdot x - ω_r t)} \\

\pmb{B_r} = \pmb{B_{r0}} e^{i(\pmb k_r \cdot x - ω_r t)} \end{array} \right. \end{array}\

透射波 t：
\begin{array}{cc}
	\left\{
		\begin{array}{c}
		\pmb{E_t} = \pmb{E_{t0}} e^{i(\pmb k_t \cdot x - ω_t t)} \\

\pmb{B_t} = \pmb{B_{t0}} e^{i(\pmb k_t \cdot x - ω_t t)} \end{array} \right. \end{array} \end{array} $$

界面连续条件

参考电磁场的边界条件-维基百科

1. 电位移矢量$\pmb D$ 的法向分量就是分界面上的表面电荷。如果分界面上没有表面电荷，那么 $\pmb D$ 的法向分量连续；
2. $\pmb E$ 的切向分量在界面两侧是连续的；
3. $\pmb B$ 的法向分量在界面两侧是连续的；
4. $\pmb H$ 的切向分量是两种介质间的表面电流密度。因此如果分界面上没有表面电流，$\pmb H$ 的切向分量在界面两侧是连续的。
因为每束波都包含 $\pmb{E_0}(x,y,z), \pmb{B_0}(x,y,z), \pmb k(x,y,z), ω$ 共10个未知量，三束波就是30个未知量；不过它们并非独立，还受麦克斯韦方程约束，即界面两侧的连续性条件：
$$ \left\{ \begin{aligned} \underbrace{ \pmb ∇ \cdot \pmb D = ρ_f}_{真空无自由电荷=0} &\Rightarrow \pmb{n_{12}} \cdot (\pmb{D_1} - \pmb{D_2}) = 0 &\text{$\pmb D$法向连续} \\ \underbrace{ \pmb ∇ × \pmb E = -\frac{∂ \pmb B}{∂ t} }_{\frac{∂ \pmb B}{∂ t}是有限值,\ 取非常小面积积分=0} &\Rightarrow \pmb n × (\pmb{E_1}-\pmb{E_2}) = 0 &\text{$\pmb E$切向连续} \\ \pmb ∇ \cdot \pmb B = 0 &\Rightarrow \pmb n \cdot (\pmb{B_1} - \pmb{B_2}) = 0 & \text{$\pmb B$法向连续} \\ \underbrace{ \pmb ∇ × \pmb H = -\frac{∂ \pmb D}{∂ t}+\pmb{J_f} }_{\frac{∂ \pmb D}{∂ t} 是有限量，取非常小面积分=0; 无J_f} &\Rightarrow \pmb n × (\pmb{H_1} - \pmb{H_2}) = 0 & \text{$\pmb H$切向连续} \\ \end{aligned} \right. $$
折射率$\pmb{n_{12}}$ 是从介质1 到介质2 的法向单位矢量，某矢量乘上它代表该矢量的法向分量；某矢量叉乘它代表该矢量的切向分量。
根据这些约束条件，减少自由度。

$ω$相等,$k_x$守恒

三束波的角频率 ω 一定相等，而且3个波矢的水平分量$k_x$也相等。
因为连续条件要求任意时刻都连续，如果有一束波的频率不等于ω，即使在某一时刻相等了，后面也不连续，所以任一时刻三束波的频率都相等；(能量守恒；时间平移不变性)
$$ ω_i = ω_r = ω_t = ω $$
因为连续条件要求任一位置都连续，如果有一束波的波矢（空间角频率）在 x-y 平面上的分量不等于 $\pmb k_x$ ，即使在某一位置相等了，其他位置也不连续，所以任一位置三束波的 x-y 平面分量都相等。（x方向空间平移不变性，z方向不满足）
$$ \pmb{k_i}_{//} = \pmb{k_r}_{//} = \pmb{k_t}_{//} $$
为了不失一般性，将这个方向定义为 x 方向，则 y 方向的分量就为0：
$$ \left\{ \begin{aligned} k_{ix} = k_{rx} = k_{tx} = k_x \\ k_{iy} = k_{ry} = k_{ty} = 0 \end{aligned} \right. $$
仅用入射波的角频率 ω 和（入射方向）波矢 $k_x$ 两个变量就能完全决定三束波的角频率和波矢（12个变量变2个）。

根据色散关系：

$$ \left{ \begin{aligned} & k_{ix}^2 + k_{iy}^2 + k_{iz}^2 = μ_0 ε_1(ω) ω^2 = k_1^2 \

& k_{rx}^2 + k_{ry}^2 + k_{rz}^2 = μ_0 ε_1(ω) ω^2 = k_1^2 & \text{(入射反射波在同一介质中)}\

& k_{tx}^2 + k_{ty}^2 + k_{tz}^2 = μ_0 ε_2(ω) ω^2 = k_2^2 \ \end{aligned} \right. $$

因为 3束波的$k_x$都相等，3个$k_y$ 等于0，$k_1, k_2$ 的大小由波的频率$ω$ 决定，所以 $k_z$ 可用 $k_x$ 表示：
$$ \left\{ \begin{aligned} & k_{iz} = -k_{rz} = \sqrt{k_1^2 - k_x^2} &\text{(方向相反)} \\ & k_{tz} = \sqrt{k_2^2 -k_x^2} \end{aligned} \right. $$
所以，仅用$k_x$ 即可表示出三个波的波矢：
$$ \left\{ \begin{aligned} \pmb{k_i} = \left( k_x, 0, \sqrt{k_1^2 - k_x^2} \right) \\ \pmb{k_r} = \left( k_x, 0, -\sqrt{k_1^2 - k_x^2} \right) \\ \pmb{k_t} = \left( k_x, 0, \sqrt{k_2^2 - k_x^2} \right) \\ \end{aligned} \right. $$
其中：$\left\{ \begin{aligned} k_1=\sqrt{μ_0 ε_1(ω)}ω \\ k_2=\sqrt{μ_0 ε_2(ω)}ω \end{aligned} \right.$

s波p波约束

s波：电场振动方向垂直于入射面(x-z 面)，包含三个电磁场分量 $E_y,H_x,H_z$；
p波：电场振动方向在入射面(x-z 面)内，包含三个电磁场分量 $H_y, E_x, E_z$。
根据4.2节由麦克斯韦方程组推出的真空平面电磁波的约束条件：
$$ \left\{ \begin{aligned} & \pmb{E_0} \cdot \pmb k = 0 & \text{(传播方向$\pmb k$定了,$\pmb E_0$只能在2个方向内)} \\ & i \pmb{k} × \pmb{E_0} = -i ω \pmb{B_0} & \text{($\pmb k$和$\pmb{E_0}$都定了,$\pmb{B_0}$就唯1确定了)} \end{aligned} \right. $$
所以每束波的$\pmb{E_0}$ 和 $\pmb{B_0}$ 6个分量（$E_{0x},E_{0y},E_{0z},B_{0x},B_{0y},B_{0z}$）中，只有两个未知量，可以是$\pmb E_0$的两个方向分量，也可以是从6个中任选2个。这里选择 $E_y$ 和 $B_y$ 作为两个独立的未知量分析它们如何决定一束波。选它们的好处在于它们代表了两种相互正交的偏振状态，如下图4.6.1所示：

图4.6.1

$E_y$ 和 $B_y$ 是独立的，分别可以推出$H_x,H_z$，和$E_x,E_z$，麦克斯韦方程组被分成了两个独立的方程组。
s 波：

电场仅有 $E_y$ 分量（没有$E_x,E_z$分量），则代表了电场偏振方向垂直于入射面（x-z 面），称为 s 波（如红色），则磁场方向在入射面（x-z面）内；因为$k_y=0$，所以 s 电磁波的电场分量$E_y$为：
$$ E_y(\pmb r,t) = \widetilde{A_s} e^{i(k_x x + k_z z - ω t)} $$
根据：$i \pmb{k} × \pmb{E_0} = - i ω \pmb{B_0}$，展开可得：
$$ (-k_z \cdot E_y)\pmb i + 0 + (k_x \cdot E_y)\pmb k = i ω(B_x, 0, B_z) $$
对应项相等？可得 s 波的磁场的两个分量：
$$ \begin{cases} B_x(\pmb r, t) = - \widetilde{A_s} \frac{k_z}{ω} e^{i(k_x x + k_z z - ω t)} \\ B_z(\pmb r, t) = \widetilde{A_s} \frac{k_x}{ω} e^{i(k_x x + k_z z - ω t)} \end{cases} $$
p 波：

磁场仅有$B_y$分量（没有$B_y,B_z$分量），则代表了电场偏振在入射面（x-z面）内，称为 p 波（如绿色）。因$k_y=0$，所以 p 电磁波的磁场分量$B_y$为：
$$ B_y(\pmb r, t) = \widetilde{A_p} e^{i(k_x x + k_z z - ω t)} $$
再根据：$\left \{ \begin{aligned} & \pmb{E_0} \cdot \pmb{k} =0 \\ & i \pmb{k} × \pmb{E_0} = - i ω \pmb{B_0} \end{aligned} \right.$ 分别得到：
$$ \begin{aligned} & \pmb{E_0} \cdot \pmb k =0 \\ & E_{0x} \cdot k_x + \cancel{E_{0y} \cdot k_y} + E_{0z} \cdot k_z = 0 \\ & E_z = - \frac{E_x k_x}{k_z} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} i \begin{vmatrix} \pmb i & \pmb j & \pmb k \ k_x & k_y & k_z \ E_x & E_y & E_z \ \end{vmatrix}
```
=
- i ω (0, B_y, 0) \\
```
(\cancel{ \underline{k_y} \cdot E_z} - \cancel{k_z \cdot \underline{E_y}}) \pmb i - (k_x \cdot E_z - k_z \cdot E_x) \pmb j + (\cancel{k_x \cdot \underline{E_y} } - \cancel{ \underline{k_y} \cdot E_x)} \pmb k = -ω(0, B_y, 0) &

\end{aligned} $$

对应项相等，并把Ez 用 Ex表示，可解得 p 波电场的 Ex 分量：

$$ \begin{aligned} k_x \cdot (-\frac{E_x k_x}{k_z}) - k_z \cdot E_x &= ω \cdot B_y \
- E_x k_x^2 -k_z^2 E_x &= ω k_z \widetilde{A_p} e^{i(k_x x + k_y y - ω t)} \
-E_x(k_x^2+k_z^2+k_y^2) &= ω k_z \widetilde{A_p} e^{i(k_x x + k_y y - ω t)} \

-E_x \frac{ω^2}{\nu^2} &= ω k_z \widetilde{A_p} e^{i(k_x x + k_y y - ω t)} \

E_x &= - \widetilde{A_p} \frac{k_z}{μ_0 ε(ω) ω} e^{i(k_x x + k_y y - ω t)} \ \end{aligned} $$

也就可以得到 p 波电场的 Ez 分量：
$$ \left \{ \begin{aligned} E_x(\pmb r, t) &= - \widetilde{A_p} \frac{k_z}{μ_0 ε(ω) ω} e^{i(k_x x + k_y y - ω t)} \\ E_z(\pmb r, t) &= \widetilde{A_p} \frac{k_x}{μ_0 ε(ω) ω} e^{i(k_x x + k_y y - ω t)} \end{aligned} \right. $$
通过 s 波和p 波，每一束电磁波的两个自由度分别转化成了$A_s$和$A_p$。任意一束单色入射波都可以分解为两束互相垂直的线偏振波——s波和p波。
这两种偏振光斜入射

s波反射折射系数

反射系数：反射波与入射波在界面处复振幅之比。
折射系数：透射波与入射波在界面处复振幅之比。
界面处三束s波：
$$ \begin{array}{c} \begin{array}{cc} 入射波：\\ \left\{ \begin{array}{c} E_{iy}(\pmb r, t) = A_{is} e^{i(k_x x + k_{iz}z - ωt)} \\ B_{ix}(\pmb r, t) = -A_{is} \frac{k_{iz}}{ω} e^{i(k_x x+k_{iz}z - ωt)} \\ B_{iz}(\pmb r, t) = A_{is} \frac{k_x}{ω} e^{i(k_x x+k_{iz}z - ωt)} \end{array} \right. \end{array} & \begin{array}{cc} 反射波：\\ \left\{ \begin{array}{c} E_{ry}(\pmb r, t) = A_{rs} e^{i(k_x x + k_{rz}z - ωt)} \\ B_{rx}(\pmb r, t) = -A_{rs} \frac{k_{rz}}{ω} e^{i(k_x x+k_{rz}z - ωt)} \\ B_{rz}(\pmb r, t) = A_{rs} \frac{k_x}{ω} e^{i(k_x x+k_{rz}z - ωt)} \end{array} \right. \end{array} & \begin{array}{cc} 透射波：\\ \left\{ \begin{array}{c} E_{ty}(\pmb r, t) = A_{ts} e^{i(k_x x + k_{tz}z - ωt)} \\ B_{tx}(\pmb r, t) = -A_{ts} \frac{k_{tz}}{ω} e^{i(k_x x+k_{tz}z - ωt)} \\ B_{tz}(\pmb r, t) = A_{ts} \frac{k_x}{ω} e^{i(k_x x+k_{tz}z - ωt)} \end{array} \right. \end{array} \end{array} $$
1. 在界面（z=0）两侧，电场的切向分量连续（$\pmb n × (\pmb{E_1} - \pmb{E_2}) = 0$），也就是说界面上侧电场的切向分量，与界面下侧电场的切向分量相等，还要注意界面下侧的电场是两束波的叠加：
  $$ E_{iy} + E_{ry} = E_{ty} \implies A_{is} + A_{rs} = A_{ts} \tag{1} $$
2. 因为对于介电介质（非磁性无损耗介质）的磁导率是$μ_0$，没有$μ$，所以$B$ 与 $H$ 一样（$B=μ H$ ，$\pmb n × (\pmb{H_1} - \pmb{H_2}) = 0$），所以B或H 的切向分量也连续：
  $$ B_{ix} + B_{rx} = B_{tx} \implies -A_{is} \frac{k_{iz}}{ω} - A_{is} \frac{k_{rz}}{ω} = -A_{ts} \frac{k_{tz}}{ω} \tag{2} $$
3. 在界面（z=0）两侧，磁感应强度法向分量连续（$\pmb n \cdot (\pmb{B_1} - \pmb{B_2}) = 0$）：
  $$ B_{iz} + B_{rz} = B_{tz} \implies A_{is} \frac{k_x}{ω} + A_{rs} \frac{k_x}{ω} = A_{ts} \frac{k_x}{ω} \tag{3} $$
方程(3) 与方程(1) 相同，说明不能一下子把3个未知量都确定下来，还留一个自由度，这也与实际实验情况相符，在实验中，以入射光为自由度，调节其强度、频率和入射角度，它决定了反射波和透射波。

只取前两个方程，两边同除以入射波的复振幅，并将$k_{iz} = - k_{rz}$ 代入，可得s波的透射波与入射波、反射波与入射波的振幅之比：
$$ \Large \begin{cases} \frac{A_{ts}}{A_{is}} = \frac{2 k_{iz}}{k_{iz} + k_{tz}}\\ \frac{A_{rs}}{A_{is}} = \frac{k_{iz} - k_{tz}}{k_{iz} + k_{tz}} \end{cases} $$
由此看出，s 波的三束波的电磁场仅有一个自由度的变量（入射波）。

p波反射折射系数

p波在界面处的三束波：
$$ \begin{array}{c} \begin{array}{cc} 入射波：\\ \begin{cases} B_{iy}(\pmb r, t) = A_{ip} e^{i(k_x x + k_{iz} z - ωt)} \\ E_{ix}(\pmb r, t) = A_{ip} \frac{k_{iz}}{μ_0 ε_1(ω) ω} e^{i(k_x x + k_{iz} z - ωt)} \\ E_{iz}(\pmb r, t) = -A_{ip} \frac{k_x}{μ_0 ε_1(ω) ω} e^{i(k_x x + k_{iz} z - ωt)} \end{cases} \end{array} & \begin{array}{cc} 反射波：\\ \begin{cases} B_{ry}(\pmb r, t) = A_{rp} e^{i(k_x x + k_{rz} z - ωt)} \\ E_{rx}(\pmb r, t) = A_{rp} \frac{k_{rz}}{μ_0 ε_1(ω) ω} e^{i(k_x x + k_{rz} z - ωt)} \\ E_{rz}(\pmb r, t) = -A_{rp} \frac{k_x}{μ_0 ε_1(ω) ω} e^{i(k_x x + k_{rz} z - ωt)} \end{cases} \end{array} & \begin{array}{cc} 透射波：\\ \begin{cases}{c} B_{ty}(\pmb r, t) = A_{tp} e^{i(k_x x + k_{tz} z - ωt)} \\ E_{tx}(\pmb r, t) = A_{tp} \frac{k_{tz}}{μ_0 ε_2(ω) ω} e^{i(k_x x + k_{tz} z - ωt)} \\ E_{tz}(\pmb r, t) = -A_{tp} \frac{k_x}{μ_0 ε_2(ω) ω} e^{i(k_x x + k_{tz} z - ωt)} \end{cases} \end{array} \end{array} $$
在界面两侧，磁感应强度$\pmb B$ /磁场强度$\pmb H$ 的切向分量连续：$B_{iy} + B_{ry} = B_{ty}$；

在界面两侧，电场$\pmb E$ 的切向分量连续：$E_{ix} + E_{rx} = E_{tx}$；

在界面两侧，电位移矢量$\pmb D$ 的法向分量连续：$ε_1(ω) \left[ E_{iz} + E_{rz} \right] = ε_2(ω) E_{tz}$。

也就是：

$$ \begin{cases} A_{ip} + A_{rp} = A_{tp} & (1) \

A_{ip} \frac{k_{iz}}{μ_0 ε_1(ω) ω} + A_{rp} \frac{k_{rz}}{μ_0 ε_1(ω) ω} = A_{tp} \frac{k_{tz}}{μ_0 ε_2(ω) ω} & (2)\
- ε_1(ω) \left[ A_{ip} \frac{k_x}{μ_0 ε_1(ω) ω}
  - A_{rp} \frac{k_{x}}{μ_0 ε_1(ω) ω} \right] = - ε_2(ω) A_{tp} \frac{k_{x}}{μ_0 ε_2(ω) ω} & (3) \end{cases} $$
方程（3）与方程（1）相同，所以只取前两个，并将 $\large k_{iz} = - k_{rz}$ 代入以上方程可得:
$$ \begin{cases} A_{ip} + A_{rp} & = A_{tp} & (1) \\ A_{ip} \frac{k_{iz}}{μ_0 ε_1(ω) ω} - A_{rp} \frac{k_{iz}}{μ_0 ε_1(ω) ω} & = A_{tp} \frac{k_{tz}}{μ_0 ε_2(ω) ω} & (2) \end{cases} $$
方程(1) 代入方程(2) 可得p波的透射波与入射波、反射波与入射波的振幅之比：

$$ \begin{cases} A_{ip} \frac{k_{iz}}{μ_0 ε_1(ω) ω}
- (A_{tp} - A_{ip}) \frac{k_{iz}}{μ_0 ε_1(ω) ω} = A_{tp} \frac{k_{tz}}{μ_0 ε_2(ω) ω} & \text{(可以解得$\frac{A_{tp}}{A_{ip}})$} \ A_{ip} \frac{k_{iz}}{μ_0 \epsilon_1(ω) ω}
- A_{rp} \frac{k_{iz}}{μ_0 ε_1(ω) ω} = (A_{ip}+ A_{rp}) \frac{k_{tz}}{μ_0 ε_2(ω) ω} & \text{(可以解得$\frac{A_{rp}}{A_{ip}})$} \end{cases} $$
$$ \left { \begin{aligned} \frac{A_{tp}}{A_{ip}} = \frac{2 ε_2(ω) k_{iz}}{ε_2(ω) k_{iz} + ε_1(ω) k_{tz}} \

\frac{A_{rp}}{A_{ip}} = \frac{ε_2(ω) k_{iz} - ε_1(ω) k_{tz}}{ε_2(ω) k_{iz} + ε_1(ω) k_{tz}} \end{aligned} \right. $$

由此可看出，$p$ 波的三束波的电磁场仅有一个自由度的变量。

4.7 介电常数>1的介质界面

菲涅尔公式

根据色散关系：$k_1^2= k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = μ_0 ε(ω) ω^2$，只要$ω$ 定了，$k^2$大小是定值（方向未定），再给定$k_x$，因$k_y=0$，$k_z$就定了。

根据界面连续条件，可得反射定律和折射定律：

图4.7.1

由色散关系，三束波的波矢的每个分量都可取为实数，则波矢分量可写成角度形式（实数才能写角度）：

$$ \begin{cases} sin θ_1 = \bigg| \frac{k_x}{k_1} \bigg| \\ sin θ_r = \bigg| \frac{k_x}{k_1} \bigg| \\ sin θ_2 = \bigg| \frac{k_x}{k_2} \bigg| \\ \end{cases} $$

可得反射角和入射角之间的关系：$θ_r = θ_1$ （反射定律）

折射角和入射角之间的关系：$\frac{sin θ_1}{sin θ_2} = \frac{k_2}{k_1} = \sqrt{\frac{ε_2(ω)}{ε_1(ω)} }$

介质折射率：$n(ω) = \sqrt{\frac{ε(ω)}{ε_0}}$

则：$\frac{sin θ_1}{sin θ_2} = \frac{n_2}{n_1}$ （折射定律）

反射定律和折射定律的本质原因是$k_x$ 守恒，有时又称为动量守恒。而$k_x$守恒又是由于表面平整，即平移对称性。如果界面上不够平整，比如有灰尘，则在界面上有其它波矢产生，最终在非反射和折射方向出现光，即为散射。

电场透射系数(角度)

把电场透射波与入射波振幅之比换成角度表示。
s 波：

s 波是用电场定义的，所以 s 波的振幅之比就是电场的振幅之比。
$$ \begin{aligned} \frac{A_{ts}}{A_{is}} &= \frac{2 k_{iz}}{k_{iz} + k_{tz}} \\ & = \frac{2 \frac{k_{iz}}{k_x}}{\frac{k_{iz}}{k_x} + \frac{k_{tz}}{k_x}} & \text{(两边同除kx,变成角度)} \\ & = \frac{2 \rm cot θ_1}{\rm cot θ_1 + cot θ_2} & \text{(上下同乘 $sin θ_1 \cdot sin θ_2$)} \\ & = \frac{2 \rm cos θ_1 sin θ_2}{\rm cos θ_1 sin θ_2 + cos θ_2 sin θ_1} & \text{(二角和差公式)} \\ & = \frac{2 \rm cos θ_1 sin θ_2}{\rm sin(θ_1 + θ_2)} \end{aligned} $$
p 波：

为什么乘上$\sqrt{\frac{ε_1}{ε_2}}$？：因为 p 波是用磁场定义的，$\frac{A_{tp}}{A_{ip}}$是磁场振幅之比，所以需要把磁场振幅换成电场振幅：磁场的大小是电场大小的$\frac{1}{c}$，也就是$\frac{1}{\sqrt{μ_0 ε(ω)}}$，所以各自要乘上在各自介质中系数，才是电场的振幅。

$$ \begin{aligned} \sqrt{ \frac{ε_1}{ε_2} } \frac{A_{tp}}{A_{ip}} &= \sqrt{\frac{ε_1}{ε_2}} \frac{2 ε_2(ω) k_{iz}}{ε_2(ω) k_{iz} + ε_1(ω) k_{tz}} \

&= \frac{\rm sin θ_2}{\rm sin θ_1} \frac{2 \frac{ε_2(ω)}{ε_1(ω)} \frac{k_{iz}}{k_x} }{ \frac{ε_2(ω)}{ε_1(ω)} \frac{k_{iz}}{k_x} + \frac{k_{tz}}{k_x}} & \text{(上下同除$ε_1(ω) k_x$变成角度)} \

&= \frac{\rm sin θ_2}{\rm sin θ_1} \frac{2 \frac{\rm sin^2(θ_1)}{\rm sin^2(θ_2)} \rm cot θ_1}{ \frac{\rm sin^2(θ_1)}{\rm sin^2 (θ_2)} \rm cot θ_1 + \rm cot θ_2} & \text{(上下同乘$\rm sin^2(θ_2)$)} \

&= \frac{\rm sin θ_2}{\rm sin θ_1} \frac{2 sin^2(θ_1) \rm cot θ_1 }{ sin^2(θ_1) \rm cot θ_1+ sin^2(θ_2) \rm cot θ_2} \

&= \frac{\rm sin θ_2}{\rm sin θ_1} \frac{2 sin^2(θ_1) \frac{\rm cos θ_1}{\rm sin θ_1} }{ sin^2(θ_1) \frac{\rm cos θ_1}{\rm sin θ_1} + sin^2(θ_2)\frac{\rm cos θ_2}{\rm sin θ_2}} & \text{(上下同除$\rm sin θ_1$)} \

& = \frac{2 \rm sin θ_2 cos θ_1}{\rm sin θ_1 cos θ_1 + sin θ_2 cos θ_2 } \

& = \frac{4 \rm sin θ_2 cos θ_1}{\rm sin(2 θ_1) + sin(2 θ_2)} \

& = \frac{2 \rm sin θ_2 cos θ_1}{\rm sin(θ_1 + θ_2) sin(θ_1 - θ_2)} &\text{==怎么化简?==}\ \end{aligned} $$
注意：这里不是透过率，透过率是透射波与入射波的能量之比，电磁波的能量表达式是：$\frac{1}{2} ε E_0^2$（$E_0$是振幅），而且注意对于p波的透射波和入射波在不同的介质里，所以求能量时需要乘上各自的介电常数。

电场反射系数(角度)

电场反射波与入射波的振幅之比，换成角度表示。
对于 s 波的反射系数：

$$ \begin{aligned} \frac{A_{rs}}{A_{is}} & = \frac{k_{iz} - k_{tz}}{k_{iz} + k_{tz}} \

& = \frac{ \frac{k_{iz}}{k_x} - \frac{k_{tz}}{k_x} } { \frac{k_{iz}}{k_x} + \frac{k_{tz}}{k_x} } &{(上下同除kx)} \

& = \frac{\rm cot θ_1 - cot θ_2 }{\rm cot θ_1 + cot θ_2 } & \text{(换成角度)} \

& = \frac{\rm cos θ_1 sin θ_2 - cosθ_2 sin θ_1}{\rm cos θ_1 sin θ_2 + cosθ_2 sin θ_1} & \text{(换成 sin 和 cos)} \

& = \frac{\rm sin(θ_2 - θ_1)}{\rm sin(θ_2 + θ_1)} \end{aligned} $$
对于 p 波的反射系数：有没有负号都可以？

$$ \begin{aligned} -\frac{A_{rp}}{A_{ip}} & = -\frac{ε_2(ω) k_{iz} - ε_1(ω) k_{tz}}{ε_2(ω) k_{iz} + ε_1(ω) k_{tz}} \ & = -\frac{ \frac{ε_2(ω)}{ε_1(ω)} k_{iz} - k_{tz} }{ \frac{ε_2(ω)}{ε_1(ω)} k_{iz} + k_{tz} } \

& = -\frac{ \frac{\rm sin^2 θ_1}{\rm sin^2 θ_2} \frac{k_{iz}}{k_x} - \frac{k_{tz}}{k_x} }{\frac{\rm sin^2 θ_1}{\rm sin^2 θ_2} \frac{k_{iz}}{k_x} + \frac{k_{tz}}{k_x} } \

& = -\frac{\rm sin^2 θ_1 cot θ_1 - sin^2 θ_2 cot θ_2 } {\rm sin^2 θ_1 cot θ_1 + sin^2 θ_2 cot θ_2 } \ & = -\frac{\rm sin θ_1 cos θ_1 - sin θ_2 cos θ_2}{\rm sin θ_1 cos θ_1 + sin θ_2 cos θ_2} \ & = -\frac{\rm sin 2 θ_1 - sin 2 θ_2}{\rm sin 2 θ_1 + sin 2 θ_2} &{二倍角公式}\ & = -\frac{\rm sin(θ_1 - θ_2) cos(θ_1 + θ_2)}{\rm cos(θ_1 - θ_2) sin(θ_1 + θ_2)} &{和差化积公式}\ & = -\frac{\rm tan(θ_1 - θ_2)}{\rm tan(θ_1 + θ_2)} & \text{wolfram:True} \end{aligned} $$

半波损失

光从光疏介质射向光密介质时，反射波在离开反射点时的振动方向相对于入射波到达入射点时的振动相反，或者说，反射波相对于入射波相位突变π，这种现象叫做半波损失。
对于 s 波电场的反射系数：$\frac{A_{rs}}{A_{is}} = \frac{\rm sin(θ_2 - θ_1)}{\rm sin(θ_2 + θ_1)}$ ：

当 $θ_1 > θ_2$ 时，也就是从光疏到光密，反射系数是负值，说明振幅符号相反，多了个-1，也就是多了$e^{iπ}=\rm cosπ + i\ sinπ = -1$，相差π相位，像是损失了一半波长；

而当 $θ_1<θ_2$ 时，反射系数是正值，振幅符号相同，相差0相位，没有半波损失。
对于 p 波：

为什么会发生半波损失？ - 带带大法师的回答 - 知乎
如果反射系数能写成角度形式，而且两个正弦的比是一个负值，说明有半波损失。如果不能写成角度形式，那只有在入射波和反射波相位差（$2 arctan(\frac{β}{k_z})$）等于$π$ 时才有半波损失。

布儒斯特角

当入射角$θ_1$(/反射角)+折射角$θ_2$=90度时，p波的反射系数趋近于0，仅有s波的反射，这时的入射角是布儒斯特角。

图4.7.5
对于p波的反射系数：
$$ \begin{aligned} \frac{A_{rp}}{A_{ip}} &= \frac{\rm tan(θ_1 - θ_2)}{\rm tan(θ_1 + θ_2)} \\ &=\frac{tan(θ_1 - θ_2)}{\infin} \to0 \end{aligned} $$
当$θ_1 + θ_2 = 90度$，分母无穷大，反射系数趋近于零。
求解布儒斯特角：
$$ \left\{ \begin{aligned} θ_1 + θ_2 = \frac{π}{2} \\ \frac{\rm sin θ_1}{\rm sin θ_2} = \frac{n_2}{n_1} \end{aligned} \right. $$
可得：$θ_1 = \rm arctan(\frac{n_2}{n_1})$

全反射

当光线从光密介质（较高折射率的介质）进入到光疏介质（较低折射率的介质），入射角大于全反射临界角时，折射光会消失，只有反射波。
介质 1 的色散关系：$k_1^2 = k_x^2 + k_{iz}^2 = μ_0 ε_1(ω) ω^2$ ；
介质 2 的色散关系：$k_2^2 = k_x^2 + k_{tz}^2 = μ_0 ε_2(ω) ω$ ；

假如$ε_1(ω)>ε_2(ω)$，根据色散关系可得：$k_1^2 > k_2^2$，通过变换入射光角度，可以找到一个 $k_x$，使得：
$$ \large k_2 < k_x < k_1 $$
这时在介质1中：$k_{iz} = -k_{rz} = \sqrt{k_1^2 - k_x^2}$ 是一个实数；而在介质2中：$k_{tz}=\sqrt{k_2^2 - k_x^2}$ 是一个纯虚数，也就是：$k_{tz} = i \sqrt{k_x^2 - k_2^2} = i β$ ，说明此时在介质2中，电磁波沿着 z 方向的传播为指数衰减的形式：
$$ \large e^{i k_{tz} z} = e^{i \sqrt{k_x^2 - k_2^2}z} = e^{i\cdot i \sqrt{k_x^2 - k_2^2} z} = e^{- \sqrt{k_x^2 - k_2^2} z} $$
波矢分量$k_x$ 越大，衰减越快，离开界面足够远的时候 z 方向电磁波衰减为零；而x方向还是振荡传播，也就是说没有光从界面射出。
穿透深度（趋肤深度）：$\delta = \frac{1}{β} = \frac{1}{\sqrt{k_x^2 - k_2^2}}$。因为隐式波其实不可能衰减到0，只是说到了某一位置，降低到某一数值以下就认为到0了，这个深度叫穿透深度。
根据全反射条件：$k_2 < k_x $$ \rm sin θ_1 = \frac{k_x}{k_1} > \frac{k_2}{k_1} = \sqrt{\frac{ε_2}{ε_1}} = \frac{n_2}{n_1} $$
所以全反射临界角为：$θ_c = \rm arcsin(\frac{n_2}{n_1})$
入射波与反射波的相位差一般不是$π$，没有半波损失。
$$ \begin{aligned} & s波：\frac{A_{rs}}{A_{is}} = \frac{k_{iz} - iβ}{k_{iz}+i β} \\ & p波：\frac{A_{rp}}{A_{ip}} = \frac{ε_2(ω) k_{iz} - ε_1(ω) i β}{ε_2(ω) k_{iz} + ε_1(ω) i β} \end{aligned} $$
s 波的相位差：$2 \rm arctan(\frac{β}{k_{iz}}) = 2 arctan( \frac{ \sqrt{k_x^2 - k_2^2} }{ \sqrt{k_1^2 -k_x^2} }) = 2 arctan( \sqrt{\frac{k_x^2 - μ_0 ε_2(ω) ω^2}{ μ_0 ε_1(ω) ω^2 - k_x^2}} )$，因为$k_1$与$k_2$相差不大，折射率范围在1～3，

p 波的相位差：$2 \rm arctan(\frac{ε_1(ω) β}{ε_2(ω) k_{iz}})$

s波全反射

介质界面处平面电磁波的形式不变，只是把 $k_{tz}$ 换成 $i β$ $\left( = i \sqrt{k_x^2 - k_2^2} \right)$，透过系数和反射系数为：
$$ \Large \begin{cases} \frac{A_{ts}}{A_{is}} = \frac{2 k_{iz}}{k_{iz} + i β}\\ \frac{A_{rs}}{A_{is}} = \frac{k_{iz} - iβ}{k_{iz} + i β} \end{cases} $$
反射系数 $\frac{A_{ts}}{A_{is}} = \frac{k_{iz} - iβ}{k_{iz} + i β}$ （虚数不能写成角度形式）的模为1，也就是说反射波与入射波的振幅一样，所以称之为全反射。反射波与入射波的相位相差 $2 \rm arctan(\frac{β}{k_{iz}})$，不是0，也不是$π$，是一个可观的角度，不是半波损失。当相位差等于$π$ 时，才有半波损失。
将$A_{rs} = A_{is} \frac{k_{iz} - iβ}{k_{iz} + i β}$ 和 $A_{ts} = A_{is} \frac{2 k_{iz}}{k_{iz} + i β}$代入反射波和透射波的方程为：

$$ 反射波： \left{ \begin{aligned} & E_{ry}(\pmb r,t) = A_{is} \frac{k_{iz} - i β}{k_{iz} +i β } e^{i(k_x x +k_{rz} z - ω t)} \ & B_{rx}(\pmb r,t) = A_{is} \frac{k_{iz} - i β}{k_{iz} +i β } \frac{k_{iz}}{ω} e^{i(k_x x +k_{rz} z - ω t)} \ & B_{rz}(\pmb r,t) = A_{is} \frac{k_{iz} - i β}{k_{iz} +i β } \frac{k_{x}}{ω} e^{i(k_x x +k_{rz} z - ω t)} \ \end{aligned} \right.

透射波： \left{ \begin{aligned} & E_{ty}(\pmb r,t) = A_{is} \frac{2 k_{iz}}{k_{iz}+i β} e^{i(k_x x + k_{tz} z - ω t)} \ & B_{tx}(\pmb r,t) = -A_{is} \frac{2 k_{iz}}{k_{iz}+iβ} \frac{i β}{ω} e^{i (k_x x + k_{tz} z - ω t)} \ & B_{tz}(\pmb r,t) = A_{is} \frac{2 k_{iz}}{k_{iz}+iβ} \frac{k_x}{ω} e^{i (k_x x + k_{tz} z - ω t)} \end{aligned} \right. $$

透射波的 x 方向磁场比 z 方向磁场相差$\frac{π}{2}$ 相位：
$$ \large \begin{aligned} \frac{-A_{is} \frac{2k_{iz}}{k_{iz} + i β} \frac{i β}{ω} } {A_{is} \frac{2 k_{iz}}{k_{iz} + i β} \frac{k_x}{ω} } &= - \frac{i β}{k_x} = - i \frac{\sqrt{k_x^2 - k_2^2}}{k_x} = e^{i π} e^{i \frac{π}{2}} \sqrt{1 - \frac{k_2^2}{k_x^2}}\\ &= e^{i \frac{3 π}{2}} \sqrt{1 - \frac{k_2^2}{k_x^2}} \end{aligned} $$
相差$\frac{π}{2}$ 相位是椭偏，也就是说：$B_{tx}$ 和 $B_{tz}$ 合成后的磁场，随着波向x正方向传播，它的方向一直在旋转，旋转方向由 $k_x$ 的方向决定。

p波全反射

介质界面处平面电磁波的形式不变，只是把 $k_{tz}$ 换成 $i β$ $\left( = i \sqrt{k_x^2 - k_2^2} \right)$，透过系数和反射系数为：

$$ \Large \begin{cases} \frac{A_{tp}}{A_{ip}} = \frac{2 ε_2(ω) k_{iz}}{ε_2(ω) k_{iz} + ε_1(ω) k_{tz}} = \frac{2 ε_2(ω) k_{iz}}{ε_2(ω) k_{iz} + ε_1(ω) i β} \
```
\frac{A_{rp}}{A_{ip}} 
	= \frac{ε_2(ω) k_{iz} - ε_1(ω) k_{tz}}{ε_2(ω) k_{iz} 
	+ ε_1(ω) k_{tz}}
	= \frac{ε_2(ω) k_{iz} - ε_1(ω) i β}{ε_2(ω) k_{iz} 
	+ ε_1(ω) i β} \\
```
\end{cases} $$
p波(磁场)反射系数 $\frac{ε_2(ω) k_{iz} - ε_1(ω) k_{tz}}{ε_2(ω) k_{iz} + ε_1(ω) i β}$ 的模为1，也就是说反射波与入射波的振幅一样，所以称为全反射。反射波与入射波的相位差：$2 \rm arctan \left( \frac{ε_1(ω) β}{ε_2(ω) k_{iz}} \right)$ ，当相位差等于$π$ 时，才有半波损失。
把 $A_{rp} = A_{ip} \frac{ε_2(ω) k_{iz} - ε_1(ω) i β}{ε_2(ω) k_{iz}+ ε_1(ω) i β}$ 和 $A_{tp} = A_{ip} \frac{2 ε_2(ω) k_{iz}}{ε_2(ω) k_{iz}+ ε_1(ω) i β}$ 代入 p 波的反射波和透射波方程：

$$ 反射波： \large \begin{cases} B_{ry}(\pmb r, t) = A_{ip} \frac{ε_2(ω) k_{iz} - ε_1(ω) i β} {ε_2(ω) k_{iz} + ε_1(ω) i β} e^{i(k_x x + k_{rz} z - ωt)} \\ E_{rx}(\pmb r, t) = - A_{ip} \frac{ε_2(ω) k_{iz} - ε_1(ω) i β} {ε_2(ω) k_{iz} +ε_1(ω) i β} \frac{k_{iz}}{μ_0 ε_1(ω) ω} e^{i(k_x x + k_{rz} z - ωt)} &\text{$(k_{iz}=-k_{rz}$)}\\ E_{rz}(\pmb r, t) = - A_{ip} \frac{2 ε_2(ω) k_{iz}}{ε_2(ω) k_{iz} ε_1(ω) i β} \frac{k_x}{μ_0 ε_1(ω) ω} e^{i(k_x x + k_{rz} z - ωt)} \end{cases} $$$$ 透射波： \large \begin{cases} B_{ty}(\pmb r, t) = A_{ip} \frac{2 ε_2(ω) k_{iz}}{ε_2(ω) k_{iz}+ ε_1(ω) i β} e^{i(k_x x + k_{tz} z - ωt)} \\ E_{tx}(\pmb r, t) = A_{ip} \frac{2 ε_2(ω) k_{iz}}{ε_2(ω) k_{iz}+ ε_1(ω) i β} \frac{i β}{μ_0 ε_2(ω) ω} e^{i(k_x x + k_{tz} z - ωt)} \\ E_{tz}(\pmb r, t) = - A_{ip} \frac{2 ε_2(ω) k_{iz}}{ε_2(ω) k_{iz}+ ε_1(ω) i β} \frac{k_x}{μ_0 ε_2(ω) ω} e^{i(k_x x + k_{tz} z - ωt)} \end{cases} $$

透射波的 x 方向电场 $E_{tx}$ 比 z 方向电场 $E_{tz}$ 差 $\frac{π}{2}$ 相位，也是椭偏，合成后的电场方向在旋转，旋转方向与 $k_x$ 方向决定。

4.8 介电常数为虚数介质界面

波矢的 z 方向分量 $k_z$ 有虚部，沿 z 方向传播振幅指数衰减。
根据受迫振动模型：

$$ \begin{aligned} ε(ω) =& ε_0 + \underbrace{\frac{n e^2}{m} \frac{1}{ω_0^2 - ω^2 + i ω γ} }_{χ (虚数)} \

\mathrm{Re} (ε(ω)) =& ε_0 + \frac{n e^2}{m} \frac{ω_0^2 - ω^2}{(ω_0^2 - ω^2)^2 + (ω γ)^2} \

\mathrm{Im} (ε(ω)) =& \frac{n e^2}{m} \frac{ω γ}{(ω_0^2 - ω^2)^2 + (ω γ)^2} \end{aligned} $$

真空介电常数 $ε_0$ 再加上电极化率 $χ$ 部分，就是介电常数 $ε(ω)$；n 是单位体积内电子数目，$ω_0$ 是共振频率，$ω$ 是外场的频率，$γ$ 是阻力系数（阻力与速度成正比）。

如果$ω = ω_0$，则电极化率部分 $χ(ω)$ 的实部变为零，则介电常数变为：
$$ ε(ω) = ε_0 + i \frac{n e^2}{m γ ω} $$
这还不是纯虚数，要满足虚部远大于实部：$\frac{n e^2}{m γ ω} \gg ε_0$，才能近似看作是纯虚数.

$\large ε$与电导关系

电导反映了电子的运动，为电极化矢量$\pmb D$与外加电场$\pmb E$之间带来了$\frac{π}{2}$ 的相位差。
阻力系数$γ$ 表明阻力与速度成正比：$m γ v$ 。这个速度是阻力与外加电场力平衡后的速度，因为电子的初速度为0，需要加速一段时间才能平衡，如果电场变化不是很快（即低频下），电场驱动力与阻力实时保持平衡：$m γ v = e \pmb E$，可见$v \propto \pmb E$ 。

电流密度与电子速度成正比：
$$ \pmb J =n e v = \frac{n e^2 \pmb E}{m γ} = σ \pmb E $$
由此可得电导率的表达式：
$$ σ = \frac{n e^2}{m γ} $$
把电导率代入共振频率时的介电常数，可得：
$$ ε(ω) = ε_0 + i \frac{σ}{ω} $$
与静电场不同的是，交变电场下电导部分也可以看作是介电常数的一部分，只是贡献的是介电常数的虚部。介电常数代表电位移矢量与外加电场之间的相位差，电导在虚部说明它带来了$\frac{π}{2}$ 的相位差（$e^{i \frac{π}{2}} = i$）。

电位移矢量$\pmb D$是偶极子密度，偶极就是位置乘上电荷量（$p = \pmb r \cdot e$），位置$r$与速度$v$相位差$\frac{π}{2}$，速度正比于电流密度$\pmb J$（$=nsv$），电流密度正比于电场$\pmb E$（$J=σ E$），所以电位移矢量$\pmb D$与电场$\pmb E$ 相位相差$\frac{π}{2}$.
从麦克斯韦方程组出发，将电导率写入介电常数：

在角频率为$ω$ 的时谐场中：
$$ ∇ × \pmb H = \pmb J_f + \frac{∂ \pmb D}{∂ t} $$
假如$\pmb D = ε_0 \pmb E = ε_0 E_0 e^{-i ω t}$，并把$\pmb J = σ \pmb E$ 代入上式：
$$ \pmb ∇ × \pmb H = σ \pmb E - i ω ε_0 \pmb E = -i ω \left( ε_0 + i \frac{σ}{ω} \right) \pmb E $$
这其中已经出现了 $\left( ε_0 + i \frac{σ}{ω} \right)$ ，令其等于$ε(ω)$，这样就有：
$$ \pmb ∇ × \pmb H = ε(ω) \frac{\pmb E}{∂ t} = \frac{∂ \pmb D}{∂ t} $$
这样就把电流项写到了电位移矢量中。

电导率

表示物质传输电流能力强弱的一种测量值。
当施加电压于导体的两端时，其电荷载子会呈现朝某方向流动的行为，因而产生电流。
根据欧姆定律，定义为电流密度$\pmb J$ 和电场强度 $\pmb E$ 的比值。
$$ \pmb J = σ \pmb E $$
与 $I = \frac{U}{R}$ 等价。

$ε(ω)$纯虚数

$$ε(ω) = i \frac{σ}{ω}$$
在交变电场达到共振频率时，介电常数等于：$ε(ω) = ε_0 + i \frac{σ}{ω}$；如果虚部与实部的比值非常大：
$$ \begin{aligned} \frac{ \frac{σ}{ω} }{ε_0} \gg 1 \\ \frac{σ}{ε_0} \gg ω \end{aligned} $$
即电导率足够大时，导体的介电常数近似为纯虚数：$i \frac{σ}{ω}$ ，称为理想导体。
此时色散关系为：
$$ k^2 = μ_0 ε(ω) ω^2 =i μ_0 σ ω $$
一般金属的电导率$σ$ 在 $10^3 \sim 10^6 \rm S$ ，则要求 $ω \ll 10^{14}$ (可见光波段)。

垂直入射金属

真空中一束光垂直入射金属表面，s波反射系数近似等于-1，p波反射系数近似等于1。
由于光垂直入射界面，所以没有 $k_x$ 分量，所以在真空中： $k_{iz} = \sqrt{μ_0 ε_0 ω^2 - k_x^2}= \sqrt{μ_0 ε_0}ω$；
在金属中的透射波波矢 z 方向分量：
$$ \begin{aligned} k_{tz} &= \sqrt{i μ_0 σ ω} \\ & = \left[μ_0 σ ω e^{i \frac{π}{2}} \right]^\frac{1}{2} \\ & = \sqrt{μ_0 σ ω}\ e^{i \frac{π}{4}} \\ & = \sqrt{μ_0 σ ω}\ \left( cos(\frac{π}{4}) + i sin(\frac{π}{4}) \right) \\ & = \sqrt{\frac{μ_0 σ ω}{2}}\ + i\sqrt{\frac{μ_0 σ ω}{2}} \\ \end{aligned} $$
根据 s波的菲涅尔公式：
$$ \Large \begin{cases} \frac{A_{ts}}{A_{is}} = \frac{2 k_{iz}}{k_{iz} + k_{tz} } \\ \frac{A_{rs}}{A_{is}} = \frac{k_{iz} - k_{tz}}{k_{iz} + k_{tz} } \end{cases} $$
代入$k_{iz}、k_{tz}$，得到光垂直入射金属表面是，（能量）反射率为：
$$ R = \left| \frac{A_r}{A_i} \right|^2 = \left| \frac{ \sqrt{μ_0 ε_0} ω - \left( \sqrt{\frac{μ_0 σ ω}{2}}\ + i\sqrt{\frac{μ_0 σ ω}{2}} \right)} {\sqrt{μ_0 ε_0} ω + \left( \sqrt{\frac{μ_0 σ ω}{2}}\ + i\sqrt{\frac{μ_0 σ ω}{2}} \right)} \right|^2 ≈ 1 - 2 \sqrt{\frac{2 ω ε_0}{σ}} $$
（能量(功率)等于$\frac{1}{2} ε E_0^2$，所以上面要取平方。）

对于反射系数：
$$ \frac{A_r}{A_i} = \frac{k_{iz} - k_{tz}}{k_{iz} + k_{tz}} = \frac{\sqrt{μ_0 ε_0} ω - \sqrt{μ_0 ε(ω)} ω}{ \sqrt{μ_0 ε_0} ω + \sqrt{μ_0 ε(ω)} ω} ≈ -1 $$
因为 $ε(ω) = ε_0 + i \frac{σ}{ω}$ 被近似为纯虚数，需要满足前提条件：$\frac{σ}{ω} ≫ ε_0$，所以$ε(ω) ≫ ε_0$，所以在$R_s$中主要部分是$\frac{- \sqrt{μ_0 ε(ω)}}{+\sqrt{μ_0 ε(ω)}}$，比值为 -1，即认为理想金属 s波的反射系数$R_s$为 -1。
在导体内部的传输深度$\delta$（趋肤深度）等于$β$ 的倒数：
$$ δ = \frac{1}{β} = \frac{1}{k_{tz}} = \frac{1}{\sqrt{i μ_0 σ ω}} $$
取 $σ$ 在$10^4$ 量级，$ω$ 在GHz波段（手机通讯频率），$ε_0 = 8.854 × 10^{-12} F/m$，则反射系数 $R \sim 1-10^{-3} ≈ 1$，穿透深度$δ \sim 10^{-3}$m。相对于其波长（$\frac{c}{ω}=\frac{3 × 10^8}{10^9}=30$cm），只能穿透1毫米，所以穿透效果很弱。
根据 p波的菲涅尔公式：

$$ \Large \begin{cases} \frac{A_{tp}}{A_{ip}} = \frac{2 ε(ω) k_{iz}}{ε(ω) k_{iz} + ε_0 k_{tz}} \

\frac{A_{rp}}{A_{ip}} = \frac{ε(ω) k_{iz} - ε_0 k_{tz}}{ε(ω) k_{iz} + ε_0 k_{tz}} \end{cases} $$

对于其反射系数：
$$ \begin{aligned} \frac{A_{rp}}{A_{ip}} &= \frac{ε(ω) k_{iz} - ε_0 k_{tz}}{ε(ω) k_{iz} + ε_0 k_{tz}} = \frac{ε(ω) \sqrt{μ_0 ε_0}ω - ε_0 \sqrt{μ_0 ε(ω)}ω }{ε(ω) \sqrt{μ_0 ε_0}ω + ε_0 \sqrt{μ_0 ε(ω)}ω} = \frac{ε(ω) \sqrt{ε_0} - ε_0 \sqrt{ε(ω)}}{ε(ω) \sqrt{ε_0} + ε_0 \sqrt{ε(ω)}} \\ & \approx \frac{i \mathrm 10^{-5} × (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) × 3 × 10^{-6} - 8.854 × 10^{-12} × (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) × 10^{-2} } { i \mathrm 10^{-5} × (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) × 3 × 10^{-6} + 8.854 × 10^{-12} × (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) × 10^{-2} } \\ & \approx \frac{10^{-11} - 10^{-14}}{10^{-11} + 10^{-14}} \\ & \approx \frac{1 - 0.001}{1 + 0.001} \approx 1 \end{aligned} $$
所以 p波的反射系数 $\frac{A_{rp}}{A_{ip}}$ 的主要部分是 $\frac{ε(ω) k_{iz}}{ε(ω) k_{iz}}$，比值近似为1。

倾斜入射金属

与垂直入射结论相同，s波反射系数为-1，对p波反射系数为1。
光波倾斜入射金属表面：波矢x方向分量 $k_x$ 不为零，则在真空中的入射波波矢z方向分量：$k_{iz} = \sqrt{μ_0 ε_0 ω^2 - k_x^2}$；在金属中的透射波波矢z方向分量：$k_{tz} = \sqrt{μ_0 ε(ω) ω^2 - k_x^2}$ 。
s 波反射系数：
$$ \frac{A_{rs}}{A_{is}} = \frac{k_{iz} - k_{tz}}{k_{iz} + k_{tz}} = \frac{\sqrt{μ_0 ε_0 ω^2 - k_x^2} - \sqrt{μ_0 ε(ω) ω^2 - k_x^2} }{ \sqrt{μ_0 ε_0 ω^2 - k_x^2} + \sqrt{μ_0 ε(ω) ω^2 - k_x^2} } $$
同样，该分数的主要部分是$\frac{- \sqrt{μ_0 ε(ω) ω^2 - k_x^2} }{+ \sqrt{μ_0 ε(ω) ω^2 - k_x^2} }$，因为 $k_x < k_0 \ll k_1$，比较模长： $μ_0 ε(ω) ω^2 \gg k_x^2$，所以减一个$k_x$就相当于在虚数末尾再加一个小向量，结果就是带来一个微扰角度，所以s波倾斜入射时理想金属反射系数还是 -1。

画图
p 波反射系数同理，$\frac{A_{rp}}{A_{ip}}$ 的主要部分是 $\frac{ε(ω) \sqrt{μ_0 ε_0 ω^2 - k_x^2}}{ε(ω) \sqrt{μ_0 ε_0 ω^2 - k_x^2}}$ ，因为 $k_0 > k_x$，所以 $k_x$也是微扰，所以p波倾斜入射时理想金属反射系数还是 1。

波节波腹

反射波的$E_x、E_y、B_Z$ 的相位几乎与入射波差$π$，所以在界面处形成波节；而反射波的 $B_x、B_y、E_z$ 的相位几乎与入射波相同，所以在界面处形成波腹。
对于理想金属，s 波的反射系数 $\frac{A_{rs}}{A_{is}}=-1$ 和 p 波的反射系数 $\frac{A_{rp}}{A_{ip}} = 1$，也就是：$Ars = - A_{is},\ A_{rp} = A_{ip}$，将此关系代入 s 波和 p 波的入射波和反射波的表达式：

$$ \begin{array}{c} s 波：\ \begin{array}{c} 入射波： \left{ \begin{array}{cc} E_{iy}(\pmb r,t) = A_{is} e^{i(k_x x + k_{iz}z - ω t)}\ B_{ix}(\pmb r,t) = -A_{is} \frac{k_{iz}}{ω} e^{i(k_x x + k_{iz}z - ω t)}\ B_{iz}(\pmb r,t) = A_{is} \frac{k_x}{ω} e^{i(k_x x + k_{iz}z - ω t)}\ \end{array} \right. & 反射波： \left{ \begin{array}{cc} E_{ry}(\pmb r,t) = A_{rs} e^{i(k_x x + k_{rz}z - ω t)}\ B_{rx}(\pmb r,t) = -A_{rs} \frac{k_{rz}}{ω} e^{i(k_x x + k_{rz}z - ω t)}\ B_{rz}(\pmb r,t) = A_{rs} \frac{k_x}{ω} e^{i(k_x x + k_{rz}z - ω t)} \end{array} \right. \end{array} \ \ p 波：\ \begin{array}{c} 入射波： \left{ \begin{array}{c} B_{iy}(\pmb r,t) = A_{ip} e^{i(k_x x + k_{iz} z - ω t)}\ E_{ix}(\pmb r,t) = A_{ip} \frac{k_{iz}}{μ_0 ε_1(ω) ω} e^{i(k_x x + k_{iz} z - ω t)}\ E_{iz}(\pmb r,t) = -A_{ip} \frac{k_{x}}{μ_0 ε_1(ω) ω} e^{i(k_x x + k_{iz} z - ω t)} \end{array} \right. & 反射波： \left{ \begin{array}{c} B_{ry}(\pmb r,t) = A_{rp} e^{i(k_x x + k_{rz} z - ω t)}\ E_{rx}(\pmb r,t) = A_{rp} \frac{k_{rz}}{μ_0 ε_1(ω) ω} e^{i(k_x x + k_{rz} z - ω t)}\ E_{rz}(\pmb r,t) = -A_{rp} \frac{k_{x}}{μ_0 ε_1(ω) ω} e^{i(k_x x + k_{rz} z - ω t)} \end{array} \right. \end{array}

\end{array} $$

因为$\frac{A_{rs}}{A_{is}} = -1$，所以 s波的 $E_{iy}$ 和 $E_{ry}$ 相差$π$ 相位；因为$k_{iz}=-k_{rz}$，所以 $B_{ix}$ 和$B_{rx}$、$E_{ix}$ 和 $E_{rx}$ 也相差$π$相位，一个波峰一个波谷就抵消了。

对于 s 波的 $B_{ix}$ 和 $Brx$、p 波的 $B_{iy}$ 和 $B_{ry}$、$E_{iz}$ 和 $E_{rz}$ ，相位几乎相同（$k_{iz}$和$k_{rz}$是一样的），所以在界面处形成波腹。

总结对比

理想金属的反射和 介电介质全反射的对比：

两者反射率均为1，在另一侧的透射波 $k_z$ 均有虚部，指数衰减；
介电介质只有在大于全反射角入射的情况下，才会有全反射，而理想金属表面在任意角度反射率都为1；

大多数介电介质反射波与入射波的相位差既非$π$，也非0，s 波是 $2 \rm arctan(\frac{β}{k_{iz}})$，p 波是$2 \rm arctan \left( \frac{ε_1(ω) β}{ε_2(ω) k_{iz}} \right)$；而理想金属的入射波与反射波的相位差为$π$ 或 0：

分量	方向	半波损失	波节/波腹
$E_x, E_y$	界面的切向方向	都有半波损失	波节
$E_z$	法向方向	无相位差	波腹
$B_x,B_y$	界面的切向方向	无相位差	波腹
$E_z$	界面的法向方向	$π$相位差, 半波损失	波节

波导

将光空间受限，实现光定向传输的光学器件。
在真空中，或者无限大的均匀介质中，光波收到不确定原理的限定，束斑越小，发散角度越大，所以如果要想定向传播，就需要无限大的平面波，因而无法实现固定束斑尺寸的定向传输。
理想的波导是由反射率为1的反射面围成，常用的为理想金属、介电介质的全反射或者光子晶体。

4.9 金属二维波导

使用理想金属，在两个维度约束光，使其定向传播。

4.9.1 金属二维波导
考虑光在 z 方向受限的波导，即在 0<z<a 区间为真空，其他区间为理想金属，a 是二维波导的厚度。上下两个界面的反射率近似为 1，光可以在这里来回反射。并不是所有的模式都可以在里面稳定传输，只有波导的解为稳定解的电磁波，才能在里面稳定传输。

由于在 x-y 面内是各向同性，为了不矢一般性，规定传播方向为 x 方向，则沿着 y 方向的波矢为零。

光在波导中传播，波导中的任一点都是两束波（入射波和反射波）的叠加，两束波的相位满足一定关系：对于 s 波的反射系数为 -1（相位差π)，对于 p 波反射系数为 1（相位相同）。因此分成两种情况来讨论：TE波（s波）和TM波（p波）。

画图2

因为金属的反射系数为 -1 和 1，较为简单，而介电介质的全反射情况的反射系数是一个带幅角的复数，较为复杂，所以先从金属二维波导讲起。
TE波（s波）模式：只有电场是横波

电磁场有 $E_y、B_x、B_z$ 三个分量。考虑两束波的 z 方向波矢分别为 $k_z$ 和 $-k_z$，x 方向波矢为 $k_x$，则波导中的电磁波可写成两束波叠加的形式：
$$ \left\{ \begin{aligned} E_y (\pmb r) & = A_+ e^{i (k_x x + k_z z)} + A_- e^{i (k_x x - k_z z)} \\ B_x (\pmb r) & = -A_+ \frac{k_z}{ω} e^{i (k_x x + k_z z)} + A_- \frac{k_z}{ω} e^{i (k_x x - k_z z)} \\ B_z (\pmb r) & = A_+ \frac{k_x}{ω} e^{i (k_x x + k_z z)} + A_- \frac{k_x}{ω} e^{i (k_x x - k_z z)} \\ \end{aligned} \right. $$
（$A_+$是正方向波的振幅，$A_-$是负方向波的振幅）

根据理想金属界面的反射相位关系：$\frac{A_r}{A_i}= -1$，可得：
$$ \left\{ \begin{aligned} \frac{A_+}{A_-} &= -1 & (z=0)\\ \frac{A_- e^{- i k_z a}}{A_+ e^{i k_z a}} &= -1 & (z=a) \end{aligned} \right. $$
可解得反射波与入射波在 z=a 处的相位差为 nπ：（在 z=a 处振幅抵消为0）
$$ \begin{aligned} e^{-2 i k_z a} = 1 &= e^{2 i k_z a} = e^{i 2n π} \\ k_z a &= n π \end{aligned} $$
波矢的z方向分量，也就是 z 方向的空间频率为：$k_z = \frac{n π}{a}$（n为正整数），说明z方向是驻波；从而 z 方向的波长为：$\lambda_z = \frac{2 π}{k_z} = \frac{2 a}{n}$，说明二维波导厚度的两倍必须是光 z 方向波长的整数倍。

图4.9.2 驻波

把 $k_z$ 表达式代入波导中电磁波的解：（两互共轭相减只剩 sin，两互共轭相加只剩 cos）

$$ \left { \begin{aligned} E_y (\pmb r, t) = E_0 sin \left( \frac{n π}{a} z \right) e^{i (k_x x - ω t)} \ B_x (\pmb r, t) = i E_0 \frac{k_z}{ω} cos \left( \frac{n π}{a} z \right) e^{i (k_x x - ω t)} \ B_z (\pmb r, t) = E_0 \frac{k_x}{ω} sin \left( \frac{n π}{a} z \right) e^{i (k_x x - ω t)}

\end{aligned} \right. $$

其中：

$$ k_x^2 = k_0^2 - \left( \frac{n π}{a} \right)^2 = μ_0 ε_0 ω^2 - \left( \frac{n π}{a} \right)^2 $$

n 为正整数（1,2,3,…），而且需要 $k_x^2 > 0$ 才能在 x 方向振荡传输（否则<0 是指数衰减，传着传着就没了），所以波导和波长(频率)有约束条件：

$$ \begin{aligned} k_x^2 = k_0^2 - \left( \frac{n π}{a} \right)^2 > 0 \\ \frac{n π}{a} < k_0 \end{aligned} $$

所以对于某一频率的波，n 最大取：

$$ n < \frac{k_0 a}{π} = \frac{2 a}{\lambda} $$

可以看出，如果 n 要有正整数的解，就要求 $\lambda \le 2 a$，所以 $2a$ 被称为截止波长 $λ_c$（如果波长λ大于2a，就会衰减），对应截止角频率：$ω_c = \frac{2π}{T} = \frac{2π}{\frac{λ_c}{c}} = 2π \frac{c}{λ_c}$。

如果 n 是小数，就不满足：$e^{-2 i k_z a} = 1$，也就是说光在波导之间走一个来回的相位差不为2π，每走一个来回会多一个相位差，随着时间传播，各点都有2π范围内所有方向的光，结果就是各个波互相抵消了（衰减为零了）。

图4.9.2 抵消了

所以必须满足在 z=a 处，两波相位差等于$n π$，等再回到 z=0 处就是相位差2nπ（0），如果0相位时值为0，那么在整个传输过程中，只有在 z=0 和 z=a 处值为0，而不会在各个点处值都为零。

所以二维波导厚度的2倍至少大于一个波长。凡是真空波长大于 $\lambda_c$ 的电磁波（或者频率小于 $ω_c$ 的电磁波，均不能在此波导中传输。

TM波（p波）模式：只有磁场是横波

电磁场有 $B_y、E_x、E_z$ 三个分量。考虑两束波波矢的 z 方向分量分别为：$k_z$ 和 $-k_z$，波矢x方向分量为：$k_x$，则电磁波的解为以下形式：
$$ \left\{ \begin{aligned} B_y(\pmb r) &= A_+ e^{i (k_x x + k_z z)} + A_- e^{i (k_x x - k_z z)} \\ E_x(\pmb r) &= A_+ \frac{k_z}{ω μ_0 ε(ω)} e^{i (k_x x + k_z z)} - A_- \frac{k_z}{ω μ_0 ε(ω)} e^{i (k_x x - k_z z)} \\ E_z(\pmb r) &= -A_+ \frac{k_x}{ω μ_0 ε(ω)} e^{i (k_x x + k_z z)} - A_- \frac{k_x}{ω μ_0 ε(ω)} e^{i (k_x x - k_z z)} \end{aligned} \right. $$
p 波在理想金属界面的反射系数为1，在 z=0 和 z=a 处满足：
$$ \left \{ \begin{aligned} & \frac{A_+}{A_-} = 1 & \text{(z=0)}\\ & \frac{A_- e^{- i k_z a}}{A_+ e^{i k_z a}} = 1 & \text{(z=a)} \end{aligned} \right. $$
和TE波一样，根据相位差得到光程需满足：$k_z a = n π$。

则波导中的电磁波为：
$$ \left\{ \begin{aligned} & B_y(\pmb r, t) = B_0 cos \left( \frac{n π}{a} z \right) e^{i(k_x x - ω t)} \\ & E_x(\pmb r, t) = i B_0 \frac{k_z}{ω μ_0 ε(ω)} sin \left( \frac{n π}{a} z \right) e^{i(k_x x - ω t)} \\ & E_z(\pmb r, t) = B_0 \frac{k_x}{ω μ_0 ε(ω)} cos \left( \frac{n π}{a} z \right) e^{i(k_x x - ω t)} \end{aligned} \right. $$
其中：$k_x^2 = k_0^2 - \left( \frac{n π}{a} \right)^2 = μ_0 ε_0 ω^2 - \left( \frac{n π}{a} \right)^2$

因n是正整数，且 $k_x^2 > 0$，即：
$$ \frac{n π}{a} < k_0 $$
所以对于某一频率的电磁波，n最大取：
$$ n < \left[ \frac{a}{π} k_0 \right] = \left[ \frac{2a}{λ} \right] $$
因n是正整数，所以要求 $λ<2a$ 。则 $2a$ 被称为截止波长 $λ_c$，对应的截止频率为：$ω_c = 2 π \frac{c}{λ}$。

凡是真空波长大于截止波长 $λ_c$ 的电磁波（或者频率小于$ω_c$）的电磁波均不能在此波导中传输。（此结论与TE波相似）

介质二维波导

利用介质全反射实现光在介质中定向传输。
三层结构：两侧是真空，中间是一层介质，其相对介电常数是大于1的实数，记其介电常数为ε。
对于固定频率为 ω，x 方向波矢为 $k_x$ 的波，在三种介质中 ω 和 $k_x$ 守恒，其中：$k_0 < k_x < k$，以保证在介质中 $k_z$ 是实数，而真空中 $k_{z0}$ 是纯虚数。
（$k$ 和 $k_0$ 分别为介质和真空中的波矢，$k_z$ 和 $k_{z0}$ 分别为介质和真空中 z 方向的波矢）
$$ \begin{aligned} k_0^2 &= μ_0 ε_0 ω^2 \\ k^2 &= μ_0 ε ω^2 \\ k_{z0} &= ± i \sqrt{k_x^2 - μ_0 ε_0 ω^2} = ± i β \\ k_z &= ± \sqrt{μ_0 ε ω^2 - k_x^2} \end{aligned} $$
$k_{z0}$ 在上层介质中取正，在下层真空中取负，在介质中$k_z$正负均取，是两束波的叠加，下层界面为z=0 平面，上层界面为z=a 平面，a 为介质厚度。

图4.9.3
对于TE模式（s波）

介质中电磁场方程为：
$$ \left\{ \begin{aligned} E_y(\pmb r) &= A_+ e^{i (k_x x + k_z z)} + A_- e^{i(k_x x - k_z)} \\ B_x(\pmb r) &= -A_+ \frac{k_z}{ω} e^{i (k_x x + k_z z)} + A_- \frac{k_z}{ω} e^{i (k_x x - k_z z)} \\ B_z(\pmb r) &= A_+ \frac{k_x}{ω} e^{i (k_x x + k_z z)} + A_- \frac{k_x}{ω} e^{i (k_x x - k_z z)} \end{aligned} \right. $$
在 z=a 和 z=0 处，使用由菲涅尔反射定律推出的s波全反射公式（$\frac{A_i}{A_r} = \frac{k_{iz} - k_{tz}}{k_{iz} + k_{tz}}$）可得：
$$ \left\{ \begin{aligned} \frac{A_+}{A_-} &= \frac{-k_z + iβ}{- k_z - iβ} &\text{(z=0)} \\ \frac{A_- e^{-i k_z a}}{A_+ e^{i k_z a}} &= \frac{k_z - iβ}{k_z + iβ} &\text{(z=a)} \end{aligned} \right. $$
由此可得：
$$ \begin{aligned} \left( \frac{k_z - iβ}{k_z + iβ} \right)^2 &= e^{-i 2 k_z a} \\ \left( \frac{ \sqrt{k_z^2 + β^2} e^{i\ arctan(\frac{β}{k_z})}} {\sqrt{k_z^2 + β^2} e^{- i\ arctan(\frac{β}{k_z})}} \right)^2 &= e^{-i 2 k_z a} \\ e^{2 i\ \mathrm{arctan}(\frac{β}{k_z}) ×2} &= e^{-i 2 k_z a} \\ 2 \mathrm{arctan}(\frac{β}{k_z}) ×2 + 2 nπ &= -2 k_z a \\ \end{aligned} $$
解得：
$$ k_z a = 2 \mathrm{arctan}(\frac{β}{k_z}) + nπ \tag{4.9.1} $$
其中要求：
$$ k_z < \sqrt{k^2 - k_0^2} = \sqrt{\mu_0 (\varepsilon - \varepsilon_0)} ω $$
4.9.1是一个超越方程，一般只有数值解。

n 为整数，是波导的阶数，记作$TE_n$。

注意到：$-2 \mathrm{arctan}(\frac{β}{k_z})$ 是反射波与入射波的相位差，所以公式4.9.1改写为：
$$ 2 k_z a - 4 \mathrm{arctan}(\frac{β}{k_z}) = 2 nπ $$
方程左边表示光在两个镜面行走一圈的相位变化（光程相位变化和反射相位变化之和），应当等于2π的整数倍。
对于TM模式（p波）

三层中的电磁场方程为：
$$ \left\{ \right. $$
根据p波的全反射公式（$\frac{}{} = \frac{}{}$），可得z=0 和 z=a 处的振幅之比：
$$ \left\{ \right. $$
由此可得：
$$ \left( \frac{ε_0 k_z - iεβ}{ε_0 k_z + iεβ} \right)^2 = e^{-i 2 k_z a} $$
化简得到幅角的超越方程：
$$ k_z a = 2 \mathrm{arctan} \left( \frac{εβ}{ε_0 k_z} \right) + nπ \tag{4.9.2} $$
其中还要求：$k_z < \sqrt{k^2 - k_0^2} = \sqrt{μ_0 (ε-ε_0)}$ β

这也是个超越方程，一般只有数值解。n 为波导的阶数，记作$TM_n$。

因为$-2 \mathrm{arctan} \left( \frac{εβ}{ε_0 k_z} \right)$正好是p波反射波与入射波的相位差，所以4.9.2改写为：
$$ 2 k_z a - 4 \mathrm{arctan} \left( \frac{εβ}{ε_0 k_z} \right)= 2nπ $$
左边则表示光在两个镜面间行走一圈的相位变化（光程相位变化和反射相位变化之和），其应当等于2π整数倍。

因$\frac{ε}{ε_0}>1$，所以对于同一级的n，TM波的$k_z$的解要大于TE波的$k_z$的解，它俩的$k_z$都大于金属波导的$k_z$解。所以当介质波导厚度a 逐渐增加的时候，对于某一频率的电磁波，出现的第一个模式是TE模式，然后是TM模式。而金属波导第一个模式是TE和TM模式同时出现。

4.11 多层膜电磁波传输

如果已知每层膜的厚度、介电常数、磁导率，根据 $ω$ 和 $k_x$ 守恒，就可利用界面两侧电磁场的连续性建立每一层薄膜之间的电磁波振幅之间的关系。

图4.11.1
对于线性介质，因为由麦克斯韦方程组得到的界面连续条件要求在任一时刻都满足，所以$ω$任意时刻都相同，否则如果有一时刻不连续，后面就都不连续了。

对于平整的界面有平移不变性，所以 $k_x$ 在任一位置都相同；否则如果在某一位置不连续，后面位置也不会连续了。

所以只要在同一层面上，各点的电磁波就是相同的；而在z方向上传输会产生相位差。介质中的各点处都是两束波（入射波和反射波）的叠加。

由此，对于第 m 层薄膜内的两束波可以用各自 z 方向波矢来代表：$k_{zm}$ 和 $- k_{zm}$ （在同一介质内，$ε(ω)$相同，$k^2$相同，$k_x$相同，所以两束波的$k_z$大小相同,方向相反），其中：
$$ k_{zm} = \sqrt{μ_m ε_m(ω) ω^2 - k_x^2} $$
根据界面连续条件，可以建立界面两侧电磁波的联系，从而确定出电磁波在各层介质中的传播，最后关注到光从多层薄膜器件穿出的透射波得到情况。

传输矩阵

$$ \begin{aligned} & 界面1下表面电场磁场(E_{y1}、H_{x1}) \stackrel{分解}{\longrightarrow} 两束波的振幅(E_{1+}、E_{1-}) \stackrel{界面连续条件}{\longrightarrow} \\ & 界面1上表面两束波振幅(E_{2+}、E_{2-}) \stackrel{介质2中传输}{\longrightarrow} 振幅相位变化(e^{i k_{z2} d_2}) \stackrel{合成}{\longrightarrow} 界面2电场磁场(E_{y2}、H_{x2}) \end{aligned} $$
（想用交换图表表现，但是markdown-preview插件好像不支持？）
描述了入射波（反射波）到透射波的中间转化过程。
把一个层面上的电场和磁场与相邻的另一个层面上的电场和磁场联系起来，如此可以将其外推到整个光子空间。如果知道了最初层面上入射场的分布，就可以利用传输矩阵法计算出最后层面上的透射场的分布，从而计算出光子晶体的透射系数和反射系数。（《用传输矩阵法(TMM)研究光子晶体的传输特性》梅洛勤）
对于 TE模式（s波）：

第1层介质中 z 方向波矢为 $k_{z0}$ 的 s 波可写为：为什么不用 B 了？（$\pmb H = \frac{\pmb B}{μ_0} - \pmb M$）

$$ \left\{ \begin{aligned} E_y(\pmb r, t) &= E_{1+} e^{i (k_x x + k_{z1} z - ω t)} \\ H_x(\pmb r, t) &= - E_{1+} \frac{k_{z1}}{μ_1 ω} e^{i (k_x x + k_{z1} z - ω t)} \\ H_z(\pmb r, t) &= E_{1+} \frac{k_x}{μ_1 ω} e^{i (k_x x + k_{z1} z - ω t)} \end{aligned} \right. $$

（$E_{1+}$ 是“入射波”的振幅，$E_{1-}$是“反射波”的振幅）

第1层介质中 z 方向波矢为 $-k_{z0}$ 的波（反射波）可写为：（换成$-k_{z1}$）

$$ \left\{ \begin{aligned} E_y(\pmb r, t) &= E_{1-} e^{i (k_x x -k_{z1}z - ω t)} \\ H_x(\pmb r, t) &= E_{1-} \frac{k_{z1}}{μ_1 ω} e^{i (k_x x -k_{z1}z - ω t)}\\ H_z(\pmb r, t) &= E_{1-} \frac{k_x}{μ_1 ω} e^{i (k_x x -k_{z1}z - ω t)} \end{aligned} \right. $$

因为“入射波”和“反射波”位于同一介质，所以不考虑相位$e^{i(k_x x + k_{z1} z - ω t)}$。

由此可将界面 1 **下表面**电场、磁场的振幅分解为两束波的叠加：

$$ \left\{ \begin{aligned} E_{y1} &= E_{1+} + E_{1-} & \text{(电场切向分量相加)} \\ H_{x1} &= - \frac{k_{z1}}{μ_1 ω} E_{1+} + \frac{k_{z1}}{μ_1 ω} E_{1-} & \text{(磁场强度切向分量相加)} \\ \end{aligned} \right. $$

对于$H_{z1}$ （因为是$\pmb B$的法向分量连续，需要把$H_z$变换为$B_z$，不过由4.6节可知：边界连续性条件的第三个方程与第一个方程相同，所以上面只取前两个方程：$E_y$和$H_x$）

把第1层介质中 $E_{y1},\ H_{x1}$ 的振幅写成矩阵方程的形式：

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} E_{y1} \\ H_{x1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -\frac{k_{z1}}{μ_1 ω} & \frac{k_{z1}}{μ_1 ω} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_{1+} \\ E_{1-} \end{pmatrix} \end{aligned} $$

根据界面连续条件:
$\left\{ \begin{aligned} & \pmb E的切向分量连续，\\ & \pmb D的法向分量在界面间没有表面电荷时连续，\\ & \pmb B的法向分量连续，\\ & \pmb H的切向分量在没有表面电流时连续 \end{aligned} \right.$

因为$E_{y1}$和$H_{x1}$切向连续，所以 $E_{y1},\ H_{x1}$ 既是界面**下表面**电磁场的振幅，也是界面**上表面**电磁场的振幅，不过它是由第2层介质中的两束波叠加而成：

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} E_{y1} \\ H_{x1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -\frac{k_{z2}}{μ_2 ω} & \frac{k_{z2}}{μ_2 ω} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_{2+} \\ E_{2-} \end{pmatrix} \end{aligned} $$

反解后可得界面1上表面两束波的振幅表达式：

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} E_{2+} \\ H_{2-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -\frac{k_{z2}}{μ_2 ω} & \frac{k_{z2}}{μ_2 ω} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} E_{y1} \\ H_{x1} \end{pmatrix} \end{aligned} $$

这两束波沿 z 方向在介质2中传输，从界面1传播到界面2，相位发生了变化，所以界面2处各点的复振幅为：

$$ \begin{pmatrix} e^{i k_{z2} d_2} & 0 \\ 0 & e^{-i k_{z2} d_2} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_{2+} \\ E_{2-} \end{pmatrix} $$

然后可合成得到界面2处的电场和磁场强度：

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} E_{y2} \ H_{x2} \end{pmatrix}

    & =
    \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\
    -\frac{-k_{z2}}{μ_2 ω} & \frac{k_{z2}}{μ_2 ω}
    \end{pmatrix}

    \begin{pmatrix}
    e^{i k_{z2} d_2} & 0 \\
    0 & e^{-i k_{z2} d_2}
    \end{pmatrix}

    \begin{pmatrix}
    E_{2+} \\ E_{2-}
    \end{pmatrix} \\
    & = 

    \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\
    -\frac{-k_{z2}}{μ_2 ω} & \frac{k_{z2}}{μ_2 ω}
    \end{pmatrix}

    \begin{pmatrix}
    e^{i k_{z2} d_2} & 0 \\
    0 & e^{-i k_{z2} d_2}
    \end{pmatrix}

    \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\
    -\frac{-k_{z2}}{μ_1 ω} & \frac{k_{z2}}{μ_1 ω}
    \end{pmatrix}^{-1}
    
    \begin{pmatrix}
    E_{y1} \\ H_{x1}
    \end{pmatrix}
\end{aligned}

依此类推，可以得到**相邻**两个界面之间 $E_y$ 和 $H_x$ 的关系：

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} E_{yj} \ H_{xj} \end{pmatrix}

    & =
    \underbrace{
        \begin{pmatrix}
        1 & 1 \\
        -\frac{-k_{zj}}{μ_j ω} & \frac{k_{zj}}{μ_j ω}
        \end{pmatrix}
    }_{界面j处合成}

    \underbrace{
        \begin{pmatrix}
        e^{i k_{zj} d_j} & 0 \\
        0 & e^{-i k_{zj} d_j}
        \end{pmatrix}
    }_{介质j中传输}

    \underbrace{
        \begin{pmatrix}
        E_{j+} \\ E_{j-}
        \end{pmatrix}
    }_{界面j-1上表面} \\

    & = 

    \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\
    -\frac{-k_{zj}}{μ_j ω} & \frac{k_{zj}}{μ_j ω}
    \end{pmatrix}

    \begin{pmatrix}
    e^{i k_{zj} d_j} & 0 \\
    0 & e^{-i k_{zj} d_j}
    \end{pmatrix}

    \underbrace{
    \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\
    -\frac{-k_{zj}}{μ_j ω} & \frac{k_{zj}}{μ_j ω}
    \end{pmatrix}^{-1}
    
    \begin{pmatrix}
    E_{yj-1} \\ H_{xj-1}
    \end{pmatrix}
    }_{界面j-1下表面分解}
\end{aligned}

其中：

$$ \begin{aligned} T_j &=

\underbrace{
    \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\
    -\frac{k_{zj}}{μ_j ω} & \frac{k_{zj}}{μ_j ω}
    \end{pmatrix}
}_{合成}

\underbrace{
    \begin{pmatrix}
    e^{i k_{zj} d_j} & 0 \\
    0 & e^{-i k_{zj} d_j}
    \end{pmatrix}
}_{传输}

\underbrace{
    \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\
    -\frac{k_{zj}}{μ_j ω} & \frac{k_{zj}}{μ_j ω}
    \end{pmatrix}^{-1}
}_{分解} \\

&=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} \left( e^{i k_{zj} d_j} + e^{-i k_{zj} d_j} \right) &
- \frac{μ_j ω}{2 k_{zj}} \left( e^{i k_{zj} d_j} - e^{-i k_{zj} d_j} \right) \\
- \frac{k_{zj}}{2 μ_j ω} \left( e^{i k_{zj} d_j} - e^{-i k_{zj} d_j} \right) &
\frac{1}{2} \left( e^{i k_{zj} d_j} + e^{-i k_{zj} d_j} \right)
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\tag{4.11.1}

为相邻两层之间的传输矩阵，从而可得多层薄膜整体的入射波（$E_{1+}$），反射波（$E_{1-}$）和透射波（$E_{n+}$）（振幅）之间的关系：

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} E_{n+} \ E_{n-} \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -\frac{k_{zn}}{μ_n ω} & \frac{k_{zn}}{μ_n ω} \end{pmatrix}^{-1}

    \begin{pmatrix}
    \prod_{j=2}^{n-1} T_j
    \end{pmatrix}
    
    \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\
    -\frac{k_{z1}}{μ_1 ω} & \frac{k_{z1}}{μ_1 ω}
    \end{pmatrix}

    \begin{pmatrix}
    E_{1+} \\ E_{1-}
    \end{pmatrix}\\

    &=
    \begin{pmatrix}
    \frac{1}{2} & -\frac{μ_n ω}{2 k_{zn}} \\
    \frac{1}{2} & \frac{μ_n ω}{2 k_{zn}} 
    \end{pmatrix}

    \begin{pmatrix}
    \prod_{j=2}^{n-1} T_j
    \end{pmatrix}
    
    \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\
    -\frac{k_{z1}}{μ_1 ω} & \frac{k_{z1}}{μ_1 ω}
    \end{pmatrix}

    \begin{pmatrix}
    E_{1+} \\ E_{1-}
    \end{pmatrix}\\
\end{aligned}
\tag{4.11.2}

对于TM模式（p波）

与 TE 波类似：

例如第 1 层介质中，z 方向波矢为 $k_{z0}$ 的波可写为：
$$ \left \{ \begin{aligned} H_y(\pmb r, t) &= H_{1+} e^{i (k_x x + k_{z1} z - ω t)} \\ E_x(\pmb r, t) &= H_{1+} \frac{k_{z1}}{ε_1 ω} e^{i (k_x x + k_{z1}z - ω t)} \\ E_z(\pmb r, t) &= - H_{1+} \frac{k_x}{ε_1 ω} e^{i (k_x x + k_{z1}z - ω t)} \end{aligned} \right. $$
z 方向波矢为 $-k_{z0}$ 的波可写为：
$$ \left \{ \begin{aligned} H_y(\pmb r, t) &= H_{1-} e^{i (k_x x - k_{z1} z - ω t)} \\ E_x(\pmb r, t) &= - H_{1-} \frac{k_{z1}}{ε_1 ω} e^{i (k_x x - k_{z1}z - ω t)} \\ E_z(\pmb r, t) &= - H_{1-} \frac{k_x}{ε_1 ω} e^{i (k_x x - k_{z1}z - ω t)} \end{aligned} \right. $$
则在界面1下表面的电磁场的振幅为（由 4.6 节可知，边界连续性条件的第三个方程跟第一个相同，所以我们只取前两个，$H_y$ 和 $E_x$）：
$$ \left\{ \begin{aligned} H_{y1} &= H_{1+} + H_{1-} \\ E_{x1} &= H_{1+} \frac{k_{z1}}{ε_1 ω} - H_{1-} \frac{k_{z1}}{ε_1 ω} \end{aligned} \right. $$
写成矩阵方程的形式即为：

$$ \begin{pmatrix} H_{y1} \ E_{x1} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1 \ \frac{k_{z1}}{ε_1 ω} & -\frac{k_{z1}}{ε_1 ω} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} H_{1+} \ H_{1-} \end{pmatrix} $$

由界面连续性条件可知，界面1上表面电场、磁场的振幅也为 $H_{y1}$ 和 $E_{x1}$，不过它是由第2层介质中的两束波的振幅$H_{2+},\ H_{2-}$叠加而成：

$$ \begin{pmatrix} H_{y1} \ E_{x1} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1 \ \frac{k_{z2}}{ε_2 ω} & -\frac{k_{z2}}{ε_2 ω} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} H_{2+} \ H_{2-} \end{pmatrix} $$

反解后可得：界面1上表面两束波振幅$H_{2+},\ H_{2-}$

$$ \begin{pmatrix} H_{2+} \ H_{2-} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1 \ \frac{k_{z2}}{ε_2 ω} & -\frac{k_{z2}}{ε_2 ω} \end{pmatrix}^{-1}

\begin{pmatrix} H_{y1} \ E_{x1} \end{pmatrix} $$

当这束波传输到界面2时，两束波的振幅变为：

$$ \begin{pmatrix} e^{i k_{z2} d_2} & 0 \ 0 & e^{i k_{z2} d_2} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} H_{2+} \ H_{2-} \end{pmatrix} $$

然后合成界面2 处的磁场振幅$H_{y2}$、电场振幅$E_{x2}$：

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} H_{y2} \ E_{x2} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \ \frac{k_{z2}}{ε_2 ω} & - \frac{k_{z2}}{ε_2 ω} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} e^{i k_{z2} d_2} & 0 \ 0 & e^{- i k_{z2} d_2} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} H_{2+} \ H_{2-} \end{pmatrix}

\ &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \ \frac{k_{z2}}{ε_2 ω} & - \frac{k_{z2}}{ε_2 ω} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} e^{i k_{z2} d_2} & 0 \ 0 & e^{- i k_{z2} d_2} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 1 \ \frac{k_{z2}}{ε_2 ω} & - \frac{k_{z2}}{ε_2 ω} \end{pmatrix}^{-1}

\begin{pmatrix} H_{y1} \ E_{x1} \end{pmatrix}

\end{aligned} $$

依此类推，可以得到相邻两个界面之间的 $H_y$ 和 $E_x$ 的关系：

$$ \begin{pmatrix} H_{yj} \ E_{xj} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1 \ \frac{k_{zj}}{ε_j ω} & - \frac{k_{zj}}{ε_j ω} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} e^{i k_{zj} d_j} & 0 \ 0 & e^{- i k_{zj} d_j} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 1 \ \frac{k_{zj}}{ε_j ω} & - \frac{k_{zj}}{ε_j ω} \end{pmatrix}^{-1}

\begin{pmatrix} H_{yj-1} \ E_{xj-1} \end{pmatrix} $$

其中

$$ \begin{aligned} T_j

&=

\begin{pmatrix} 1 & 1 \ \frac{k_{zj}}{ε_j ω} & - \frac{k_{zj}}{ε_j ω} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} e^{i k_{zj} d_j} & 0 \ 0 & e^{- i k_{zj} d_j} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 1 \ \frac{k_{zj}}{ε_j ω} & - \frac{k_{zj}}{ε_j ω} \end{pmatrix}^{-1} \ \ &=

\begin{pmatrix} \frac{1}{2} (e^{i k_{zj} d_j} + e^{-i k_{zj} d_j}) & -\frac{ε_j ω}{2 k_{zj}} (e^{i k_{zj} d_j} - e^{-i k_{zj} d_j}) \ -\frac{k_{zj}}{2 ε_j ω} (e^{i k_{zj} d_j} - e^{-i k_{zj} d_j}) & \frac{1}{2} (e^{i k_{zj} d_j} + e^{-i k_{zj} d_j})
\end{pmatrix} \end{aligned} \tag{4.11.3} $$

为两层之间的传输矩阵，从而可得多层薄膜整体入射波$H_{1+}$、反射波$H_{1-}$和透射波$H_{n+}$之间的关系：

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} H_{n+} \ H_{n-} \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -\frac{k_{zn}}{ε_n ω} & \frac{k_{zn}}{ε_n ω} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \prod_{j=2}^{n-1} T_j \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 1 \ -\frac{k_{z1}}{ε_1 ω} & \frac{k_{z1}}{ε_1 ω} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} H_{1+} \ H_{1-} \end{pmatrix}

\ & =

\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{ε_n ω}{2 k_{zn}} \ \frac{1}{2} & \frac{ε_n ω}{2 k_{zn}} \ \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \prod_{j=2}^{n-1} T_j \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 1 \ -\frac{k_{z1}}{ε_1 ω} & \frac{k_{z1}}{ε_1 ω} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} H_{1+} \ H_{1-} \end{pmatrix}

\end{aligned} \tag{4.11.4} $$

得到了在特定$ω$ 和 $k_x$ 条件下 $H_{1+}，H_{1-}，H_{n+}$和$H_{n-}$ 之间的关系。

TE模式和 TM模式的传输矩阵都有四个未知量，两个方程，显然自由度过高。不过现实中并不需要这么多量。

例如，如果要研究 TE 波的透射和反射，那么 $E_{n-} = 0$，则只剩先三个变量：$E_{1+},\ E_{1-},\ E_{n+}$，分别对应着入射波、反射波和透射波。

如果要研究波导，最下和最上侧都要求是指数衰减的隐逝波，则$E_{n+}=0,\ E_{1-}=0$，这样就剩下两个变量：$E_{1+},\ E_{n-}$。如果要有解，就需要对矩阵中的系数有所限定，也就是在波导中求得的波导色散关系。

下面举几个例子加以说明。
单个界面的反射和透射

对于单个界面，则无中间的传输矩阵 $T_j$。

对于 TE波，由公式4.11.2可得：

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} E_{2+} \ E_{2-} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & - \frac{μ_2 ω}{2 k_{z2}} \ \frac{1}{2} & \frac{μ_2 ω}{2 k_{z2}} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 1 \ -\frac{k_{z1}}{μ_1 ω} & \frac{k_{z1}}{μ_1 ω} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} E_{1+} \ E_{1-} \end{pmatrix} \end{aligned} $$

对于电介质，磁导率$μ_2 = μ_1 = μ_0$。对于反射和透射，$E_{2-}=0$，则：

$$ \begin{pmatrix} E_{2+} \ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{k_{z1}}{2 k_{z2}} & \frac{1}{2} - \frac{k_{z1}}{2 k_{z2}} \ \frac{1}{2} - \frac{k_{z1}}{2 k_{z2}} & \frac{1}{2} + \frac{k_{z1}}{2 k_{z2}} \ \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} E_{1+} \ E_{1-} \end{pmatrix} $$

三个未知量，两个方程，所以要留一个自由度，也就是能解得反射波、透射波是入射波的多少倍：
$$ \Large \begin{cases} \frac{E_{1-}}{E_{1+}} = \frac{k_{z1} - k_{z2}}{k_{z1} + k_{z2}} \\ \frac{E_{2+}}{E_{1+}} = \frac{2 k_{z1}}{k_{z1} + k_{z2}} \\ \end{cases} $$
这就是4.6节得到的s波的反射系数。

对于 TM 波，则为：

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} H_{2+} \ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{ε_2 ω}{2 k_{z2}} \ \frac{1}{2} & \frac{ε_2 ω}{2 k_{z2}} \ \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 1 \ -\frac{k_{z1}}{ε_1 ω} & \frac{k_{z1}}{ε_1 ω} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} H_{1+} \ H_{1-} \end{pmatrix}

\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{ε_2 k_{z1}}{2 ε_1 k_{z2}} & \frac{1}{2} - \frac{ε_2 k_{z1}}{2 ε_1 k_{z2}} \ \frac{1}{2} - \frac{ε_2 k_{z1}}{2 ε_1 k_{z2}} & \frac{1}{2} + \frac{ε_2 k_{z1}}{2 ε_1 k_{z2}} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} H_{1+} \ H_{1-} \end{pmatrix}

\end{aligned} $$

解得：
$$ \left\{ \begin{aligned} \frac{H_{1-}}{H_{1+}} = \frac{ε_2 k_{z1} - ε_1 k_{z2}}{ε_2 k_{z1} + ε_1 k_{z2}} \\ \frac{H_{2+}}{H_{1+}} = \frac{2 ε_2 k_{z1}}{ε_2 k_{z1} + ε_1 k_{z2}} \end{aligned} \right. $$

表面等离激元

只有一个界面，两侧都是隐逝波。（surface plasma polarition (SPP)）
在两侧介质中的$k_z$都是纯虚数，所以波在两侧的介质中都是指数衰减。
$$ \begin{aligned} k_{z1} = i β_1 \\ k_{z2} = i β_2 \end{aligned} $$
其中： $ \begin{aligned} β_1 = \sqrt{k_x^2 - μ_1 ε_1 ω^2} \\ β_2 = \sqrt{k_x^2 - μ_2 ε_2 ω^2} \end{aligned} $ ，且： $ \begin{aligned} k_x^2 > μ_1 ε_1 ω^2 \\ k_x^2 > μ_2 ε_2 ω^2 \end{aligned} $
对于TE模式

此时界面两侧分别只有$E_{1-}$和$E_{2+}$，而不存在$E_{1+}$和$E_{2-}$。因为“反射波” $E_{1-} e^{i k_{z1} z} = E_{1-} e^{-\sqrt{k_x^2 - μ_1 ε_1 ω^2} z}$ 是指数衰减，那么“入射波” $E_{1+} e^{i (-k_{z1}) z} = E_{1+} e^{\sqrt{k_x^2 - μ_1 ε_1 ω^2} z}$ 就是指数增加，这是不允许的；$E_{2-}$同理，不能存在指数增加。

界面两束波的关系用传输矩阵表示为：

$$ \begin{pmatrix} E_{2+} \ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{\mu_2 k_{z1}}{2 \mu_1 k_{z2}} & \frac{1}{2} - \frac{\mu_2 k_{z1}}{2 \mu_1 k_{z2}} \ \frac{1}{2} - \frac{\mu_2 k_{z1}}{2 \mu_1 k_{z2}} & \frac{1}{2} + \frac{\mu_2 k_{z1}}{2 \mu_1 k_{z2}} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 0 \ E_{1-} \end{pmatrix} $$

则：
$$ \large \begin{cases} E_{2+} = \left( \frac{1}{2} - \frac{\mu_2 k_{z1}}{2 \mu_1 k_{z2}}\right) E_{1-} \\ \frac{1}{2} + \frac{\mu_2 k_{z1}}{2 \mu_1 k_{z2}} = 0 \end{cases} $$
可得：
$$ \large \begin{cases} \frac{\beta_1}{\beta_2} = - \frac{\mu_1}{\mu_2} \\ \frac{E_{2+}}{E_{1-}} = 1 \end{cases} $$
这说明如果界面一侧磁导率为正，另一侧为负，则可以实现两侧均为指数衰减的，束缚在二维界面上的传输波，此成为磁SPP。

自然界中磁导率为负的材料较为少见，在人造的超材料中可能存在。
对于TM模式

界面两侧磁场振幅的关系用传输矩阵方法表示：

$$ \begin{pmatrix} H_{2+} \ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{ε_2 k_{z1}}{2 ε_1 k_{z2}} & \frac{1}{2} - \frac{ε_2 k_{z1}}{2 ε_1 k_{z2}} \ \frac{1}{2} - \frac{ε_2 k_{z1}}{2 ε_1 k_{z2}} & \frac{1}{2} + \frac{ε_2 k_{z1}}{2 ε_1 k_{z2}} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 0 \ H_{1-} \end{pmatrix} $$

则
$$ \begin{cases} H_{2+} = \left( \frac{1}{2} - \frac{ε_2 k_{z1}}{2 ε_1 k_{z2}} \right) H_{1-} \\ \frac{1}{2} + \frac{ε_2 k_{z1}}{2 ε_1 k_{z2}} = 0 \end{cases} $$
可得：
$$ \large \begin{cases} \frac{\beta_1}{\beta_2} = - \frac{ε_1}{ε_2} \\ \frac{H_{2+}}{H_{1+}} = 1 \end{cases} $$
这表明：如果界面一侧介电常数为正，另一侧为负，则可以实现两侧均为指数衰减的，束缚在二维界面上的传输波，此称电SPP。

自然界中存在介电常数为负的材料，银或者铝在可见光波段介电常数为负，与真空的界面处会形成电SPP。
在界面二维波导上传播的（行）波，不是用入射波打出来的（所以没有入射波），那样$k_x$不够大；应该在界面边缘入射，傅立叶变换后会存在$k_x$很大的分量，从而产生隐逝波。或者把光打到针尖上散射，因为针尖很细，所以傅立叶变换后，在很宽频带内都有分布，就产生了足够大的$k_x$分量，用来产生隐逝波。

介质波导

第一层和第三层是真空，第二层是介电物质，光在第二层介质中全反射传播。

图4.11.2 介质二维波导
对于这个模型：
$$ \begin{aligned} & ε_1 = ε_3= ε_0,\ ε_2 = ε \\ & μ_1 = μ_2 = μ_3 = μ_0 \end{aligned} $$
给定 $k_0 < k_x < k$，如果形成波导，对于TE波（s波），只有$E_{1+}$和$E_{3-}$；对于TM波（p波）只有$H_{1+}$和$H_{3-}$。
对于TE波

传输矩阵为：

$$ \begin{aligned} & \begin{pmatrix} E_{3+} \ 0 \end{pmatrix} \ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{μ_0 ω}{2 i β} \ \frac{1}{2} & \frac{μ_0 ω}{2 i β} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \frac{1}{2} (e^{i k_z a} + e^{-i k_z a}) &
-\frac{μ_0 ω}{2 k_{zj}}(e^{i k_z a} - e^{-i k_z a}) \ -\frac{k_z}{2 μ_0 ω} (e^{i k_z a} - e^{-i k_z a}) & \frac{1}{2} (e^{i k_z a} + e^{-i k_z a}) \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 1 \ -\frac{i β}{μ_0 ω} & \frac{i β}{μ_0 ω} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 0 \ E_{1-} \end{pmatrix} \ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{μ_0 ω}{2 β i} \ \frac{1}{2} & \frac{μ_0 ω}{2 β i} \ \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} cos k_z a & -i \frac{μ_0 ω}{k_z} sin k_z a \ -i \frac{k_z}{μ_0 ω} sin k_z a & cos k_z a \ \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 1 \ -\frac{β i}{μ_0 ω} & \frac{β i}{μ_0 ω} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 0 & E_{1-} \end{pmatrix} \ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{μ_0 ω}{2 β i} \ \frac{1}{2} & \frac{μ_0 ω}{2 β i} \ \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} cos k_z a - \frac{β}{k_z} sin k_z a & cos k_z a + \frac{β}{k_z} sin k_z a \ -i \frac{k_z}{μ_0 ω} sin k_z a - i \frac{β}{μ_0 ω} cos k_z a & -i \frac{k_z}{μ_0 ω} sin k_z a + i \frac{β}{μ_0 ω} cos k_z a \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 0 & E_{1-} \end{pmatrix} \ &= \begin{pmatrix} cos k_z a + \frac{1}{2} (\frac{k_z}{β} - \frac{β}{k_z}) sin k_z a & \frac{1}{2} (\frac{k_z}{β} - \frac{β}{k_z}) sin k_z a \ -\frac{1}{2} (\frac{k_z}{β} + \frac{β}{k_z} sin k_z a & cos k_z a - \frac{1}{2} (\frac{k_z}{β} - \frac{β}{k_z}) sin k_z a \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 0 \ E_{1-} \end{pmatrix} \ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} (\frac{k_z}{β} - \frac{β}{k_z}) sin k_z a E_{1-} \ [cos k_z a - \frac{1}{2} (\frac{k_z}{β} - \frac{β}{k_z}) sin k_z a] E_{1-} \end{pmatrix} \end{aligned} $$

可得：
$$ \left\{ \begin{aligned} & cos k_z a - \frac{1}{2} (\frac{k_z}{β} - \frac{β}{k_z} ) sin k_z a = 0 \\ & E_{3+} = \left[ \frac{1}{2} (\frac{k_z}{β} + \frac{β}{k_z}) sin k_z a \right] E_{1-} \end{aligned} \right. $$
解得：
$$ \left\{ \begin{aligned} k_z a &= 2 \mathrm{arctan} (\frac{β}{k_z}) + n π \\ E_{3+} &= E_{1-} \end{aligned} \right. $$
这与4.9.1的解一致：介质全反射的相位差再加二维波导的离散条件。
对于TM波：

隐逝波的隧穿

足够靠近界面，就能看到隐逝波。
从光密介质到光疏介质，全反射并不是说没有一点电磁波透射过去，而是一个随距离指数衰减的波。如果另一个介质靠近，就可以将这部分电磁波耦合出去。

图4.11.3 隐逝波的隧穿

如图 4.11.2 所示结构，介质 1 和介质 3 为介电常数为 $ε$ 的电介质（光密），介质 2 为真空（光疏），介质 2 的厚度为 $a$。从介质 1 入射的电磁波的入射角大于临界角，即$k_0 < k_x < k$，则光在真空传播是指数衰减，隐逝波在真空中传输一段距离 a 后，进入介质 3 。
- 对于TE波，只有 $E_{1+}$、$E_{1-}$和$E_{3+}$ 存在。
  
  不考虑$E_{3-}$?：我们从来没有把4个量全部考虑的，因为只有两个方程，要留一个自由度，最多就是3个量：入射、反射、透射。因为上下两个介质是半无限大的区域，所以不会有反射波；而且即使上半介质有限，E3+打到界面上，在上侧还是只有透射波，没有反射波。如果只考虑两个量，那就是界面波导。
  
  $$ \begin{aligned} & \begin{pmatrix} E_{3+} \ 0 \end{pmatrix} \ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{μ_0 ω}{2 k_z} \ \frac{1}{2} & \frac{μ_0 ω}{2 k_z} \ \end{pmatrix}
  
  \begin{pmatrix} \frac{1}{2} (e^{-β a} + e^{β a}) & -\frac{μ_0 ω}{2 i β} (e^{-β a} - e^{β a}) \ -\frac{i β}{2 μ_0 ω} (e^{-β a} - e^{β a}) & \frac{1}{2} (e^{-β a} + e^{β a}) \end{pmatrix}
  
  \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -\frac{k_z}{μ_0 ω} & \frac{k_z}{μ_0 ω} \end{pmatrix}
  
  \begin{pmatrix} E_{1+} \ E_{1-} \end{pmatrix} \ \
  
  &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{μ_0 ω}{2 k_z} \ \frac{1}{2} & \frac{μ_0 ω}{2 k_z} \ \end{pmatrix}
  
  \begin{pmatrix} \frac{1}{2} (e^{- β a} + e^{β a}) - i \frac{k_z}{2 β} (e^{-β a} - e^{β a}) & \frac{1}{2} (e^{- β a} + e^{β a}) - i \frac{k_z}{2 β} (e^{-β a} - e^{β a}) \
  - \frac{i β}{2 μ_0 ω} (e^{-β a} - e^{β a}) - \frac{1}{2} \frac{k_z}{μ_0 ω} (e^{- β a} + e^{β a}) &
    - \frac{i β}{2 μ_0 ω} (e^{-β a} - e^{β a}) + \frac{1}{2} \frac{k_z}{μ_0 ω} (e^{- β a} + e^{β a}) \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix} E_{1+} \ E_{1-} \end{pmatrix} \ \
  
  &=
  
  \begin{pmatrix} \frac{1}{2} (e^{-β a} + e^{β a}) - \frac{i}{4} (\frac{k_z}{β} - \frac{β}{k_z})(e^{-β a} - e^{β a}) & \frac{1}{2} (\frac{k_z}{β} + \frac{β}{k_z}) (e^{-β a} - e^{β a})\
  
  -\frac{i}{4} (\frac{k_z}{β} + \frac{β}{k_z}) (e^{-β a} - e^{β a}) & \frac{1}{2} (e^{-β a} + e^{β a}) + \frac{i}{4} (\frac{k_z}{β} - \frac{β}{k_z})(e^{-β a} - e^{β a}) \end{pmatrix}
  
  \begin{pmatrix} E_{1+} \ E_{1-} \end{pmatrix} \ \
  
  &= \begin{pmatrix} & \left[ \frac{1}{2} (e^{-β a} + e^{β a}) - \frac{i}{4} (\frac{k_z}{β} - \frac{β}{k_z})(e^{-β a} - e^{β a}) \right] E_{1+} + \left[ \frac{1}{2} (\frac{k_z}{β} + \frac{β}{k_z}) (e^{-β a} - e^{β a}) \right] E_{1-} \ & \left[ -\frac{i}{4} (\frac{k_z}{β} + \frac{β}{k_z}) (e^{-β a} - e^{β a}) \right] E_{1+} + \left[ \frac{1}{2} (e^{-β a} + e^{β a}) + \frac{i}{4} (\frac{k_z}{β} - \frac{β}{k_z})(e^{-β a} - e^{β a}) \right] E_{1-}
  
  \end{pmatrix}
  
  \end{aligned} $$
  
  解得：
  
  $$ \Large \begin{cases} \frac{E_{3+}}{E_{1+}} = \frac{1} {\frac{1}{2} (e^{-β a} + e^{β a}) + \frac{i}{4} (\frac{k_z}{β} - \frac{β}{k_z})(e^{-β a} - e^{β a})}
  
  \
  
  \frac{E_{1-}}{E_{1+}} = \frac{\frac{i}{4} (\frac{k_z}{β} + \frac{β}{k_z}) (e^{-β a} - e^{β a})} {\frac{1}{2} (e^{-β a} + e^{β a}) + \frac{i}{4} (\frac{k_z}{β} - \frac{β}{k_z})(e^{-β a} - e^{β a})} \end{cases} $$
  
  可以看出，当$a \to + \infin$时，其解与4.7.5相同?
  
  假设：$ε_0<ε=10×10^{-12},\ \omega=10^9$，$k_x$ 比 $k$ 小一点，两个 $k_z$ 大概是：
  
  $$ \begin{aligned} k_{z} &= k_{z3} = k_z = \sqrt{μ_0 ε ω^2 - k_x^2} &\text{(实数)} \ &= \sqrt{ (4π×10^{−7}) × (10 × 10^{-12}) × 10^{18} - 10}\ &= \sqrt{4π-10} \
  
  k_{z0} &= i β = i \sqrt{k_x^2 - μ_0 ε_0 ω^2} &\text{(纯虚数)}\ &=i \sqrt{10 - 4 π} \
  
  \frac{k_{z}}{β} &= \sqrt{\frac{4π-10}{10 - 4 π}} = 1 \end{aligned} $$
  
  所以也就是离得足够远时，透射波与入射波的振幅之比趋近于零，看不到透射波了；反射波与入射波振幅之比的模长为1。(反射系数近似等于-i？它能化简成$\frac{k_{iz} - iβ}{k_{iz} + iβ}$的形式？)
- 对于TM波，只有 $H_{1+}$、$H_{1-}$ 和 $H_{3+}$ 存在
  
  使用传输矩阵：
  
  解得：

分布式布拉格反射镜

两种透明的介质，每一层厚度为$\frac{1}{4}$波长，交替组合成多层薄膜，足够厚就变成了一面镜子。
介质1的介电常数为$ε_1$，其厚度为$d_1 = \frac{\lambda}{4} \sqrt{ \frac{ε_1}{ε_0} }$; 介质2的介电常数为$ε_2$，其厚度为$d_2 = \frac{\lambda}{4} \sqrt{ \frac{ε_2}{ε_0} }$。
- 介质1内的传输矩阵
  
  $$ \begin{pmatrix} \frac{1}{2} (e^{i k_{z1} d_1} + e^{-i k_{z1} d_1}) & -\frac{μ_0 ω}{2 k_{z1}} (e^{i k_{z1} d_1} - e^{i k_{z1} d_1}) \ -\frac{k_{z1}}{2 μ_0 ω} (e^{i k_{z1} d_1} - e^{-i k_{z1} d_1}) & \frac{1}{2} (e^{i k_{z1} d_1} + e^{-i k_{z1} d_1} ) \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix} 0 & -i \sqrt{ \frac{μ_0}{ε_1}} \ -i \sqrt{ \frac{ε_1}{μ_0}} & 0 \end{pmatrix} $$
  
  电磁波垂直入射（即$k_x = 0$），对于每一层来说，$k_z d = \frac{π}{2}$（由于垂直入射，s波和p波等同，这里只用s波形式）
- 介质2内的传输矩阵：
  
  $$ \begin{pmatrix} \frac{1}{2} (e^{i k_{z2} d_2} + e^{-i k_{z2} d_2}) & -\frac{μ_0 ω}{2 k_{z2}} (e^{i k_{z2} d_2} - e^{i k_{z2} d_2}) \ -\frac{k_{z2}}{2 μ_0 ω} (e^{i k_{z2} d_2} - e^{-i k_{z2} d_2}) & \frac{1}{2} (e^{i k_{z2} d_2} + e^{-i k_{z2} d_2} ) \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix} 0 & -i \sqrt{ \frac{μ_0}{ε_2}} \ -i \sqrt{ \frac{ε_2}{μ_0}} & 0 \end{pmatrix} $$
- n 对介质的传输介质：
  
  $$ \begin{aligned} & \begin{pmatrix} E_t \ 0 \end{pmatrix} \ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{μ_0 ω}{2 k_0} \ \frac{1}{2} & \frac{μ_0 ω}{2 k_0} \end{pmatrix}
  
  \left[ \begin{pmatrix} 0 & -i \sqrt{\frac{μ_0}{ε_2}} \ -i \sqrt{\frac{ε_2}{μ_0}} & 0 \end{pmatrix}
  
  \begin{pmatrix} 0 & -i \sqrt{\frac{μ_0}{ε_1}} \ -i \sqrt{\frac{ε_1}{μ_0}} & 0 \end{pmatrix} \right]^n
  
  \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -\frac{k_0}{μ_0 ω} & \frac{k_0}{μ_0 ω} \ \end{pmatrix}
  
  \begin{pmatrix} E_i \ E_r \end{pmatrix} \
  
  &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{μ_0 ω}{2 k_0} \ \frac{1}{2} & \frac{μ_0 ω}{2 k_0} \end{pmatrix}
  
  \begin{pmatrix} -\sqrt{\frac{ε_1}{ε_2}} & 0 \ 0 & -\sqrt{\frac{ε_2}{ε_1}} \ \end{pmatrix}^n
  
  \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -\frac{k_0}{μ_0 ω} & \frac{k_0}{μ_0 ω} \ \end{pmatrix}
  
  \begin{pmatrix} E_i \ E_r \end{pmatrix} \
  
  &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{μ_0 ω}{2 k_0} \ \frac{1}{2} & \frac{μ_0 ω}{2 k_0} \end{pmatrix}
  
  \begin{pmatrix} (-\frac{n_1}{n_2})^n & 0 \ 0 & (-\frac{n_2}{n_1})^n \end{pmatrix}
  
  \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -\frac{k_0}{μ_0 ω} & \frac{k_0}{μ_0 ω} \ \end{pmatrix}
  
  \begin{pmatrix} E_i \ E_r \end{pmatrix} \
  
  &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{μ_0 ω}{2 k_0} \ \frac{1}{2} & \frac{μ_0 ω}{2 k_0} \end{pmatrix}
  
  \begin{pmatrix} (-\frac{n_1}{n_2})^n & -\frac{n_1}{n_2})^n \ -\frac{k_0}{μ_0 ω} (-\frac{n_2}{n_1})^n & -\frac{k_0}{μ_0 ω} (-\frac{n_2}{n_1})^n \end{pmatrix}
  
  \begin{pmatrix} E_i \ E_r \end{pmatrix} \
  
  &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} (-\frac{n_1}{n_2})^n + \frac{1}{2} (-\frac{n_2}{n_1})^n & \frac{1}{2} (-\frac{n_1}{n_2})^n - \frac{1}{2} (-\frac{n_2}{n_1})^n \ \frac{1}{2} (-\frac{n_1}{n_2})^n - \frac{1}{2} (-\frac{n_2}{n_1})^n & \frac{1}{2} (-\frac{n_1}{n_2})^n + \frac{1}{2} (-\frac{n_2}{n_1})^n \end{pmatrix}
  
  \begin{pmatrix} E_i \ E_r \end{pmatrix} \
  
  \end{aligned} $$
  
  可解得：
  $$ \left\{ \begin{aligned} \begin{aligned} \frac{E_r}{E_i} &= \frac{(-\frac{n_1}{n_2})^n - (-\frac{n_2}{n_1})^n} {(-\frac{n_1}{n_2})^n + (-\frac{n_2}{n_1})^n} &= \frac{(\frac{n_2}{n_1})^{2n} - 1}{(\frac{n_2}{n_1})^{2n} + 1} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \frac{E_t}{E_i} &= \frac{2} {(-\frac{n_1}{n_2})^n + (-\frac{n_2}{n_1})^n} &= \frac{2 (-\frac{n_2}{n_1})^n}{(-\frac{n_2}{n_1})^{2n} + 1} \end{aligned} \end{aligned} \right. $$
  可以看出，只要$n_1 \neq n_2$，当层数 n 足够大时，反射波振幅$E_r$与入射波振幅$E_i$之比为1。
总结：

除了以上的例题，还有很多中薄膜光学器件的问题都可以用传输矩阵的方法解决，我们这里就不再一一列举了。

还需要强调的一点是用传输矩阵计算反射和透射后，还可以将结果代入原传输矩阵，令其在薄膜中间任意一点传输停止，并且将两束波合成电磁场，即可得到薄膜中任意一点电磁场强度。

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第四章