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(2022-12-28)
白板推导: VAE
Source video：【机器学习】白板推导系列(三十二) ～ 变分自编码器(VAE)】
VAE 和 GMM 一样也是生成模型：隐变量 z 生成观测变量 x，从而学习样本数据 x 本身的分布。不过 VAE 的 z 不是1维的，而是多维的。
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用 EM 解 GMM 的最优参数 θ 时，假设 z 的后验分布 P(z|x;θ⁽ᵗ⁾) 能够取到，而且因为 z 是离散的，P(x) = ∑ₖ₌₁ᴷP(x,z=Cₖ;θ) 就能算出来， 所以后验 P(z|x)=P(x|z)P(z)/P(x) 也能算出来，其中分子两项是假设的分布。E步把目标函数: “最大的期望” $E\_{P(z|x)} [ log P(x,z|θ) ]$ 写出来，M步对其求导找出（期望最大时的）最佳θ⁽ᵗ⁺¹⁾。
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而 VAE 的 z 是高维连续的，P(x) = $∫_z P(x,z) dz$ 积不出来，后验P(z|x) 就没法用贝叶斯公式导出，但可以用随机梯度下降变分推断(SGVI)近似后验。
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“推断”是从 x 到 z 的过程：用样本 x 修正 z 的先验 P(z) 得到 z 的后验 P(z|x)；而“生成”是从 z 的后验分布 P(z|x) 中采样出 z，再变换成样本的分布 P(x)。
flowchart LR; observed((x)) -->|Inference| latent((z)); latent -->|Generation| observed -
用 q(z|x;ϕ) 逼近后验 P(z|x;θ) 时，要最小化 $KL(q_{ϕ(z|x)} || P_{θ(z|x)})$，在 θ 固定，则似然 P(X) 也固定的情况下，等价于最大化 ELBO： arg max $E_{qᵩ(z|x)} [ log (P(z,x;θ)/qᵩ(z|x)) ]) ]$。类似广义 EM 的 E步，在 θ 固定的情况下，求后验的近似。
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通过把联合概率拆开，这个 ELBO 也可写成: $E_{qᵩ(z|x)} [ log P(x|z;θ) ] - KL(q(z|x;ϕ) ||P(z))$。 当 z 的先验分布 P(z) 是标准正态时，那么KL散度就是希望 qᵩ(z|x) 的方差保持为I，不要太小，分布坍缩到一点就是过拟合：x与z一一对应，就变成 AE了，只能对训练样本 x 推出正确的 z。
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求生成模型的最优参数 θ 同样是要使似然期望最大：arg max ELBO（x后验与KL散度同时优化），（没法直接求导）可采用梯度上升法，所以 VAE 是把 EM 的两步合起来了，既逼近后验 p(z|x) 的参数 ϕ，又逼近生成模型 p(x|z) 的参数θ。
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在计算 ELBO 对 ϕ 的梯度时，∇ᵩL(ϕ) 可以写成一个期望，直接对 z 采样求均值可能由于方差太大而失效（而且采样操作不可导，就无法对z求梯度）， 所以先对一个高斯噪声 ε 采样，再根据变换：z=μ_ϕ(x) + Σ_ϕ¹ᐟ²(x)⋅ε 得到 z (重参数化)。然后求均值(=梯度)，带入梯度上升公式，更新ϕ。
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训练NN时，输入一个 x，神经网络输出后验分布（编码）p(z|x) 以及采样出一个z。用这个z 通过另一个网络逼近 x 的后验分布（生成模型）p(x|z)， 也就是在学到的 z 成立的情况下，从 p(x|z) 中采到 x 的概率，目标函数就是希望这个概率越大越好，可以假设 x服从二项或正态，把参数代入公式即得概率 或者说，分布 p(x|z) 的"众数" x’要与输入 x 的距离越小越好，当方差很小时，众数就是期望，即每次采样都会采到期望 μ(z)，所以以 μ(z) 与 x 的距离作为目标函数。 一个x是多维的，它有自己（维度之间）的分布。
完整笔记：shuhuai008-32； 参考：隐变量模型到EM到变分自编码器 - 我要给主播生猴子 -知乎
(2022-12-29)
苏剑林: VAE（一）
Source article：变分自编码器（一）：原来是这么一回事-苏剑林
通过隐变量 z 求样本 x 的分布：p(x) = ∫_z p(x|z) p(z) dz。 先学习 z 的后验分布 p(z|x)（ 编码 ），再由它 生成 $\\^x$，$\\^x$应与x一样。
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注意区分先验 p(z) 与后验 p(z|x)。因为假设了后验是正态分布的形式，所以是对 μᶿ,Σᶿ 做重参数化。而先验只出现在正则化项中，不参与后验的训练。
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一个样本点x⁽ⁱ⁾对应一个（独立的、多元的）后验分布 p(z|x⁽ⁱ⁾)，这样从中采出的 z 就一定对应这个样本点。所以每个样本有自己的正态分布。
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z 是后验分布的一个采样，采样就会有偏差（方差），导致重构误差不为0。如果不加正则化，为了减小误差，Σ会不断减小到0，退化成AE。 从这个角度看 vae 是 AE 加上噪声，并约束噪声的强度（方差）尽量为1.
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vae 希望所有的后验分布（”一般正态“）都与标准正态相似：μ=0，Σ=I，采样z时就保证了生成能力。因为各分量独立，所以是d维一元N的加和： KL( N(μ,Σ)|| N(0,I) ) = ½ Σ [(-logσ² + μ² + σ² -1) ]
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重参数化技巧把服从N(μ,Σ)的随机变量 z 的概率拆成一个服从标准正态的变量ε和一个参数变换μ+ε×σ，从而实现虽然采样操作不可导，但它不参与梯度的反向传播。
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条件VAE：样本属于不同的类别-期望不同 cvae代码：用2个线性层分别拟合μ和Σ，用重参数化技巧采样z，x与x’之间的重构损失用了交叉熵
model：
(2022-12-30)
苏剑林: VAE（二）
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期望的数值计算与采样计算不同：数值计算是先给一个数列 x（其中$x⁰ < x¹ < x²<...xⁿ$），然后对里面的每个数 x⁽ⁱ⁾ 按它的概率加权求和：E[x]=∫ xp(x) dx。 但如果 x⁽ⁱ⁾ 是分布 p(x) 中的采样，概率大的会被多采几次，样本集合 x 中就包含了概率信息，不用再乘 p(x⁽ⁱ⁾)了：E[x]≈1/n⋅∑ᵢ₌₀ⁿ x⁽ⁱ⁾, x⁽ⁱ⁾∼p(x)
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推导目标函数时，先构造了 p(x,z)=p(z|x)⋅p^(x)，再构造 q(x,z)=q(x|z)q(z)，这两个构造毫无关系，希望它俩互相靠近，而不是为了逼近z的后验p(z|x)。notes; (vae三-josh00的评论)
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在生成阶段，若假设 p(x|z) 服从二项分布，则重构误差就是交叉熵；若假设 p(x|z) 服从正态分布，则重构误差就是MSE
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训练时，生成阶段只从 z 的后验分布中采样一个，因为 z 是专属于一个x。P(x)➔ μ_ϕ(x), Σ_ϕ¹ᐟ²(x) ➔ z ➔ μ_θ(z) ➔ x'
(2022-12-31)
苏剑林: VAE（三）
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vae生成时，只采一个z：因为x与z一一对应（自编码器）方差为0，vae引入了先验q(z)=N(0,I)，方差也不会太大，也就是每次采样，结果都一样。如果直接做最大似然p(x|z)，就需要从z的先验p(z)中采多个样本先估计出每个x的似然，再求似然的期望最大化。但如过没采到 zₖ，它对应的 xₖ的似然就是0，ln0是-∞，导致训练失败。
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VAE 的重建生成相当于在AE上加了噪声（方差），所以可以生成与原始样本不同的数据。
%%{ init: { 'flowchart': { 'curve': 'linear' } } }%% flowchart TB x["x\n(样本)"] --> nn["隐变量的分布 μ(x), Σ(x)"] --> z --> nn2["数据的分布 p(x|z)\n 方差很小"] --> recon[x'\n重建样本] nn --> |"通过采样，从 “多个” 到 “一个”，
从 “无限” 到 “唯一”"| recon -
IWAE 对p(x,z)=∫p(x|z)p(z)dz 做等价变换，从而可从后验p(z|x)中采样z。
(2023-06-04)
PCA 与 VAE
They’re both learning the distribution of data.
DDG search: “PCA 与 VAE 对比”
Understanding Variational Autoencoders (VAEs) - Joseph Rocca
Variational Autoencoders explained — with PyTorch Implementation - Sanna Persson
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Instead of mapping the input into a fixed vector, we want to map it into a distribution.
From Autoencoder to Beta-VAE - Lil’Log