P3 Transformation

旋转矩阵

• 乘以一个向量时，改变向量方向的矩阵

• 表示了不同维度坐标的线性变换

• 作用：把向量(默认绕原点、逆时针)的旋转用矩阵乘法表示

• 对于一个二维向量，旋转关系用矩阵乘法形式为：

  $$ \begin{pmatrix} x' \\\ y' \end{pmatrix} = M_{2×2} \begin{pmatrix} x \\\ y \end{pmatrix} $$

  用待定系数法可以确定各元素

  

  对于(a,0)点：

  $$ \begin{pmatrix} acosθ \\ asinθ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} $$

  解得：$A=cosθ, C=sinθ$； 同理代入(0,b)点，可解得：$B=-sinθ, D=cosθ$，所以旋转矩阵为：

  $$ \begin{pmatrix} cosθ & -sinθ \\\ sinθ & cosθ \end{pmatrix} $$

旋转矩阵的逆

• 等于它的转置（$R_θ^{-1}=R_θ^T$）

• 因为旋转矩阵是一个正交矩阵

• 逆操作就是顺时针旋转相同的角度，也就是正向旋转$-θ$，代入得：

  $$ \begin{pmatrix} cosθ & sinθ \\\ -sinθ & cosθ \end{pmatrix} $$

  即为旋转矩阵的转置

齐次坐标

• 向量最后加个0，点最后加个1

• 3D vector: $(x,y,z,0)^T$
  3D point: $(x,y,z,1)^T$

• 作用：平移变换也可写成一个矩阵

• 对于平移关系：

  $$ \begin{cases} x' = x + t_x \\\ y' = y + t_y \end{cases} $$

  x,y方向都没有旋转，所以旋转矩阵为：

  $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

  写成齐次坐标：

  $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & 1 \\\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

  只有平移，附加到后面：

  $$ \begin{pmatrix} x' \\\ y' \\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\\ 0 & 1 & t_y \\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\\ y \\\ 0 \end{pmatrix} $$

• 同一点的表示不唯一：

  $$ \begin{pmatrix} x \\\ y \\\ z \\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\\ ky \\\ kz \\\ k \end{pmatrix} $$

仿射变换

• 旋转变换和平移变换拼成一个矩阵