P4

3D Transformations

3D Scale

$$ \mathbf S(s_x, s_y, s_z) = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

3D Translation

$$ \mathbf T(t_x,t_y,t_z) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Rotaion around axises

• 绕x轴旋转：
  x方向坐标不变，所以旋转矩阵各列向量的x分量都不贡献，所以第一行是1 0 0；
  为了保证逆时针旋转是正向旋转，其余两轴的顺序如图：
  

  

  y-z平面旋转，用待定系数法或展开三角函数，可得旋转关系为： $\begin{cases} x’=x \\ y’=ycosθ-zsinθ \\ z’=ysinθ+zcosθ \end{cases}$，
  则旋转矩阵为 $\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \\ z’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0 & cosθ & -sinθ \\0 & sinθ & cosθ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}$；
  写成齐次坐标，不考虑平移，所以仿射变换矩阵为：

  $$ R_x(α)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cosθ & -sinθ & 0 \\ 0 & sinθ & cosθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$

• 绕y轴旋转：
  y方向不变，所以矩阵第2行为：0 1 0；
  x-z平面旋转，用待定系数法，可得旋转关系： $\begin{pmatrix}z’\\x’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cosθ& -sinθ\\sinθ & cosθ\end{pmatrix} \begin{pmatrix} z\\x \end{pmatrix}$
  (或者展开三角函数，可得旋转关系为： $\begin{cases} x’=zsinθ+xcosθ \\ z’=zcosθ-xsinθ\end{cases}$)
  写成旋转矩阵为：

  $$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \\ z’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cosθ & 0 & sinθ \\ 0 & 1 & 0 \\ -sinθ & 0 & cosθ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$

  三个轴循环对称：$x\boxed{yzx}y\boxed{zxy}z\boxed{xyz}$，即给定任意两个可得后面一个，所以Y是由$Z×X$的到的 $\begin{pmatrix}Z\\ X\\ Y\end{pmatrix}$，这与通常书写 矩阵顺序$\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\end{pmatrix}$不同，导致系数易位，$-sinθ$不在左上角，看起来与绕其他两轴的旋转矩阵不一致。

• 绕z轴旋转：
  z方向不变，所以矩阵第3行为：0 0 1；
  x-y平面旋转，有旋转关系 $\begin{cases}x’=rcos(α+θ)\\y’=rcos(α+θ)\end{cases}$ 以及 $\begin{cases}x=rcosα\\y=rsinα\end{cases}$
  可得：$\begin{cases}x’=xcosθ-ysinθ\\y’=ycosθ+xsinθ\end{cases}$
  写成旋转矩阵为：

  $$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \\z’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cosθ & -sinθ & 0 \\ sinθ & cosθ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\
  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\z \end{pmatrix} $$

任意三维旋转

渲染

• 给三维物体拍照片
• 1. 摆好模型 Model transformation
  2. 摆好照相机 View transformation
  3. 投影到相片 Projection transformation

View Transformation

• 通过旋转和平移，把世界坐标系中的相机调整到标准姿态

• 相机的姿态包括：位置、朝向和旋转

  标准姿态：

  1. 光心在原点；
  2. 朝着-z方向看；
  3. 向上是y轴

• 从标准姿态变换到当前姿态，再取逆，就是视图变换

正交投影

• 平行光
• 把空间中的长方体映射到一个边长为2的立方体（左右下上远近的边界都是1）
  1. 中心平移到原点: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
  2. 缩放到2: $\begin{pmatrix}\frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

透视投影

• 视锥
• 近大远小
• 把棱台挤压成长方体，长方体再做正交投影

  1. 远平面缩放到与近平面相同大小

     根据相似，确定不同深度的缩放系数

     

     $$ \begin{cases} y’=\frac{n}{z}y \\ x’=\frac{n}{z}x \\ z’=unknow \end{cases} $$

     远平面缩放之后各点坐标：

     $$ \begin{pmatrix} \frac{nx}{z} \\ \frac{ny}{z} \\ unknown \\ 1 \end{pmatrix} \overset{乘以深度z}{==} \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ unkown \\ z \end{pmatrix} $$

  2. 确定$M_{persp→ortho}$

     $$ M_{persp→ortho}^{(4×4)} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ unknown \\ z \end{pmatrix} $$

     $$ M_{persp→ortho}^{(4×4)} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} $$

     近平面上的点作用之后不变：

     $$ \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ n^2 \\ n \end{pmatrix} $$

     因为$n^2$与x,y无关，所以第三行为：(0 0 A B), $An+B=n^2$

     远平面的中心点也没变，满足：

     $$ \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & B \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f^2 \\ f \end{pmatrix} $$

     所以$Af+B=f^2$

     联立可解得A,B:

     $$ \begin{cases} An+B=n^2 \\ Af+B=f^2 \end{cases} ⇒ \begin{cases} A=n+f \\ B=-nf \end{cases} $$

  3. 透视投影矩阵：$M_{persp} = M_{ortho} M_{persp→ortho}$